Toen Kurt Gödel in 1931 zijn beroemde Incompleteness Theorems publiceerde, schudde dat de grondslagen van de wiskundige logica: hij weerlegde dat alle axioma's die als mogelijke basis kunnen worden opgezet onvermijdelijk onvolledig zijn om alle uitspraken over getallen te bewijzen - en vernietigde dat Hilbert's droom om de consistentie van wiskundige theorie te bewijzen.
De introductie van Gödel-getallen (het uniek in kaart brengen van formules naar natuurlijke getallen) en diagonalisatie (de vervanging van de vrije variabele in functies door hun respectievelijke Gödel-getal) zijn twee centrale concepten die Gödel introduceert in zijn bewijs. Het doorslaggevende bewijsidee waarin Gödel deze concepten combineert, kan als volgt worden opgeschreven:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
Aangezien \(P(p)\) niet onwaar kan zijn (aangezien het anders aantoonbaar en dus waar zou zijn), moet \(P(p)\) waar zijn en daarom niet aantoonbaar. Er is dus altijd een echte zin in een taal (met een keuze uit axioma's) die niet kan worden bewezen. Hier is \(g\) de Gödelisatie, \(p\) het Gödel-nummer van het predikaat \(P\) , het complementaire archetype \(\overline{B}^*\) van \(B\) (de verzameling van alle Godel getallen van alle bewijsbare proposities) onder de diagonaalfunctie \(d\) .
Voor verder lezen bevelen we Gödels publicatie uit 1931 en het goedgelezen artikel van Stepan Parunashvili aan . Naast de stellingen van onvolledigheid heeft Gödel andere baanbrekende prestaties geleverd, waaronder de onweerlegbaarheid van Cantors continuümhypothese en het ontologische bewijs van God in de taal van de modale logica.