Da Kurt Gödel offentliggjorde sine berømte ufuldstændighedssætninger i 1931, rystede det grundlaget for matematisk logik: Han tilbageviste, at alle aksiomer, der kan indstilles som et muligt grundlag, uundgåeligt er ufuldstændige for at bevise alle udsagn om tal - og ødelagde det Hilberts drøm om at bevise konsistensen af matematisk teori.
Introduktionen af Gödel-tal (den unikke afbildning af formler til naturlige tal) og diagonalisering (erstatningen af den frie variabel i funktioner med dens respektive Gödel-tal) er to centrale begreber, som Gödel introducerer i sit bevis. Den afgørende bevisidé, hvor Gödel kombinerer disse begreber, kan skrives som følger.:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
Da \(P(p)\) ikke kan være falsk (da det ellers ville være beviseligt og derfor sandt), skal \(P(p)\) sandt og derfor ikke beviseligt. Således er der altid en sand sætning på et sprog (med ethvert valg af aksiomer), der ikke kan bevises. Her \(g\) Gödelization, \(p\) Gödel-nummeret for prædikatet \(P\) , som er den komplementære arketype \(\overline{B}^*\) af \(B\) (sættet af alle Godel-numre af alle påviselige forslag) under den diagonale funktion \(d\) .
Til videre læsning anbefales Gödels publikation fra 1931 og Stepan Parunashvilis indsigtsfulde artikel. Udover ufuldstændighedssætningerne leverede Gödel andre banebrydende bidrag, herunder uigendriveligheden af Cantors kontinuumhypotese og det ontologiske argument for Guds eksistens i modallogikkens sprog.