Godels mesterværk

Da Kurt Gödel offentliggjorde sine berømte ufuldstændighedssætninger i 1931, rystede det grundlaget for matematisk logik: Han tilbageviste, at alle aksiomer, der kan indstilles som et muligt grundlag, uundgåeligt er ufuldstændige for at bevise alle udsagn om tal - og ødelagde det Hilberts drøm om at bevise konsistensen af ​​matematisk teori.


Indførelsen af ​​Gödel-tal (den entydige kortlægning af formler til naturlige tal) og diagonalisering (udskiftning af den frie variabel i funktioner med deres respektive Gödel-nummer) er to centrale begreber, som Gödel introducerer i sit bevis. Den afgørende beviside, hvor Gödel kombinerer disse begreber, kan skrives ned som følger:

$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$

Da \(P(p)\) ikke kan være falsk (da det ellers ville være beviseligt og derfor sandt), skal \(P(p)\) sandt og derfor ikke beviseligt. Således er der altid en sand sætning på et sprog (med ethvert valg af aksiomer), der ikke kan bevises. Her \(g\) Gödelization, \(p\) Gödel-nummeret for prædikatet \(P\) , som er den komplementære arketype \(\overline{B}^*\) af \(B\) (sættet af alle Godel-numre af alle påviselige forslag) under den diagonale funktion \(d\) .

Til yderligere læsning anbefaler vi Gödel's publikation fra 1931 og den læst artikel af Stepan Parunashvili . Ud over teoremerne om ufuldstændighed gjorde Gödel andre banebrydende præstationer, herunder uigenkaldelighed af Cantors kontinuumhypotese og det ontologiske bevis for Gud på modalogikens sprog.

Tilbage