Ketika Kurt Gödel menerbitkan Teorema Ketidaklengkapannya yang terkenal pada tahun 1931, ia menggegarkan asas-asas logik matematik: Dia membantah bahawa semua aksioma yang dapat disusun sebagai asas mungkin tidak dapat dielakkan untuk membuktikan semua pernyataan mengenai nombor - dan menghancurkannya Impian Hilbert untuk membuktikan ketekalan teori matematik.
Pengenalan nombor Gödel (pemetaan formula yang tidak jelas ke nombor semula jadi) dan pepenjuru (penggantian pemboleh ubah bebas dalam fungsi dengan nombor Gödel masing-masing) adalah dua konsep pusat yang diperkenalkan oleh Gödel dalam buktinya. Idea bukti yang menentukan di mana Gödel menggabungkan konsep-konsep ini dapat dituliskan seperti berikut:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
Oleh kerana \(P(p)\) tidak boleh salah (kerana sebaliknya dapat dibuktikan dan oleh itu benar), \(P(p)\) benar dan oleh itu tidak dapat dibuktikan. Jadi selalu ada kalimat yang benar dalam bahasa (dengan pilihan aksioma) yang tidak dapat dibuktikan. Berikut \(g\) Gödelization, \(p\) bilangan Gödel dari predikat \(P\) , yang merupakan pelengkap arketipe \(\overline{B}^*\) dari \(B\) (kumpulan semua Nombor Godel dari semua proposisi yang dapat dibuktikan) di bawah fungsi pepenjuru \(d\) .
Untuk bacaan lebih lanjut, kami mengesyorkan penerbitan Gödel tahun 1931 dan artikel yang dibaca dengan baik oleh Stepan Parunashvili . Sebagai tambahan kepada teori-teori ketidaklengkapan, Gödel membuat pencapaian-pencapaian penting lainnya, termasuk tidak dapat disangkal hipotesis kontinum Cantor dan bukti ontologi Tuhan dalam bahasa logik modal.