Ketika Kurt Gödel menerbitkan Teorema Ketidaklengkapannya yang terkenal pada tahun 1931, ia menggegarkan asas-asas logik matematik: Dia membantah bahawa semua aksioma yang dapat disusun sebagai asas mungkin tidak dapat dielakkan untuk membuktikan semua pernyataan mengenai nombor - dan menghancurkannya Impian Hilbert untuk membuktikan ketekalan teori matematik.
Pengenalan nombor Gödel (pemetaan formula unik kepada nombor asli) dan pepenjuru (penggantian pembolehubah bebas dalam fungsi dengan nombor Gödel masing-masing) adalah dua konsep utama yang diperkenalkan oleh Gödel dalam buktinya. Idea bukti penting di mana Gödel menggabungkan konsep-konsep ini boleh ditulis seperti berikut.:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
Oleh kerana \(P(p)\) tidak boleh salah (kerana sebaliknya dapat dibuktikan dan oleh itu benar), \(P(p)\) benar dan oleh itu tidak dapat dibuktikan. Jadi selalu ada kalimat yang benar dalam bahasa (dengan pilihan aksioma) yang tidak dapat dibuktikan. Berikut \(g\) Gödelization, \(p\) bilangan Gödel dari predikat \(P\) , yang merupakan pelengkap arketipe \(\overline{B}^*\) dari \(B\) (kumpulan semua Nombor Godel dari semua proposisi yang dapat dibuktikan) di bawah fungsi pepenjuru \(d\) .
Untuk bacaan lanjut , penerbitan Gödel pada tahun 1931 dan artikel bernas Stepan Parunashvili disyorkan. Selain teorem ketidaklengkapan, Gödel telah membuat sumbangan inovatif lain, termasuk hipotesis kontinum Cantor yang tidak dapat disangkal dan hujah ontologi untuk kewujudan Tuhan dalam bahasa logik modal.