Karya agung Godel

Nalika Kurt Gödel nerbitake Teori Incompleteness sing misuwur ing taun 1931, dhasar kasebut nggegirisi dhasar logika matematika: Dheweke nolak manawa kabeh aksioma sing bisa digawe minangka basis bisa uga ora lengkap kanggo mbuktekake kabeh pernyataan babagan nomer - lan ngrusak Impen Hilbert kanggo mbuktekake konsistensi teori matematika.


Pengenalan nomer Gödel (pemetaan formula sing ora jelas kanggo nomer alami) lan diagonalisasi (penggantian variabel bebas kanggo fungsi karo nomer Gödel masing-masing) minangka rong konsep utama sing diwenehake Gödel ing buktine. Gagasan bukti sing nemtokake Gödel nggabungake konsep kasebut bisa ditulis kaya ing ngisor iki:

$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$

Amarga \(P(p)\) ora bisa salah (amarga bisa uga kabukten bisa uga nyata), \(P(p)\) bener lan mula ora kabukten. Mangkene mesthi ana ukara sejatine ing basa (kanthi pilihan aksioma) sing ora bisa dibuktekake. Ing ngisor iki \(g\) Gödelization, \(p\) nomer Gödel saka predikat \(P\) , yaiku archetype komplementer \(\overline{B}^*\) saka \(B\) (set kabeh Nomer Godel kanggo kabeh proposisi sing bisa dibuktekake) miturut fungsi diagonal \(d\) .

Kanggo maca luwih lengkap, disaranake publikasi Gödel 1931 lan artikel sing wis diwaca dening Stepan Parunashvili . Saliyane teorema ora lengkap, Gödel nggawe prestasi anyar, kalebu ora bisa diatasi hipotesis kontinu Cantor lan bukti ontologis saka Gusti Allah ing basa logika modal.

Bali