Nalika Kurt Gödel nerbitake Teori Incompleteness sing misuwur ing taun 1931, dhasar kasebut nggegirisi dhasar logika matematika: Dheweke nolak manawa kabeh aksioma sing bisa digawe minangka basis bisa uga ora lengkap kanggo mbuktekake kabeh pernyataan babagan nomer - lan ngrusak Impen Hilbert kanggo mbuktekake konsistensi teori matematika.
Pambuka angka Gödel (pemetaan rumus unik menyang angka alami) lan diagonalisasi (panggantos variabel bebas ing fungsi karo angka Gödel masing-masing) minangka rong konsep utama sing dikenalake Gödel ing buktine. Ide bukti penting ing ngendi Gödel nggabungake konsep-konsep kasebut bisa ditulis kaya ing ngisor iki.:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
Amarga \(P(p)\) ora bisa salah (amarga bisa uga kabukten bisa uga nyata), \(P(p)\) bener lan mula ora kabukten. Mangkene mesthi ana ukara sejatine ing basa (kanthi pilihan aksioma) sing ora bisa dibuktekake. Ing ngisor iki \(g\) Gödelization, \(p\) nomer Gödel saka predikat \(P\) , yaiku archetype komplementer \(\overline{B}^*\) saka \(B\) (set kabeh Nomer Godel kanggo kabeh proposisi sing bisa dibuktekake) miturut fungsi diagonal \(d\) .
Kanggo wacan luwih lanjut , publikasi Gödel taun 1931 lan artikel wawasan Stepan Parunashvili dianjurake. Kejaba téoréma ketidaklengkapan, Gödel uga menehi kontribusi inovatif liyané, kalebu hipotesis kontinum Cantor sing ora bisa dibantah lan argumen ontologis kanggo anané Gusti Allah ing basa logika modal.