当库尔特·哥德尔（KurtGödel）在1931年发表他著名的不完全性定理时，它动摇了数学逻辑的基础：他驳斥了所有可以建立为可能基础的公理不可避免地是不完全的，以证明所有关于数字的陈述-并销毁了那个希尔伯特的梦想证明了数学理论的一致性。
Gödel数（公式到自然数的唯一映射）的引入和对角线化（用各自的Gödel数替换函数中的自由变量）是Gödel在其证明中引入的两个中心概念。 哥德尔结合了这些概念的决定性证据可以写下如下:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
由于\(P(p)\)不能为假（因为否则它将是可证明的，因此为真），因此\(P(p)\)真，因此不可证明。 因此，在某种语言中（无论选择哪种公理）总会有一个真实的句子无法证明。 这里\(g\) Gödelization， \(p\)谓词\(P\) \(p\)的Gödel数，这是\(B\) （所有集合的互补原型\(\overline{B}^*\)对角线函数\(d\)下的所有可证明命题的Godel数。
为了进一步阅读，我们建议您阅读Gödel在1931年的出版物以及Stepan Parunashvili的文章，这是非常值得阅读的。 除了不完全性定理之外，哥德尔还取得了其他突破性的成就，包括康托尔连续论假设的不可辩驳性以及模态逻辑语言中上帝的本体论证明。