当库尔特·哥德尔（KurtGödel）在1931年发表他著名的不完全性定理时，它动摇了数学逻辑的基础：他驳斥了所有可以建立为可能基础的公理不可避免地是不完全的，以证明所有关于数字的陈述-并销毁了那个希尔伯特的梦想证明了数学理论的一致性。
哥德尔数（公式到自然数的唯一映射）和对角化（用相应的哥德尔数替换函数中的自由变量）是哥德尔在其证明中引入的两个核心概念。哥德尔将这些概念结合起来的关键证明思路可以表述如下。:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
由于\(P(p)\)不能为假（因为否则它将是可证明的，因此为真），因此\(P(p)\)真，因此不可证明。 因此，在某种语言中（无论选择哪种公理）总会有一个真实的句子无法证明。 这里\(g\) Gödelization， \(p\)谓词\(P\) \(p\)的Gödel数，这是\(B\) （所有集合的互补原型\(\overline{B}^*\)对角线函数\(d\)下的所有可证明命题的Godel数。
如需进一步阅读，建议参阅哥德尔1931年的著作和斯捷潘·帕鲁纳什维利的精辟文章。除了不完备性定理之外，哥德尔还做出了其他开创性的贡献，包括康托尔连续统假设的不可反驳性以及用模态逻辑语言论证上帝存在的本体论意义。