Kurt Gödel 1931'de ünlü Eksiklik Teoremlerini yayınladığında, matematiksel mantığın temellerini sarstı: Olası bir temel olarak kurulabilecek tüm aksiyomların, sayılarla ilgili tüm ifadeleri kanıtlamak için kaçınılmaz olarak eksik olduğunu reddetti ve bunu yok etti. Hilbert'in matematiksel teorinin tutarlılığını kanıtlama hayali.
Gödel'in ispatında ortaya koyduğu iki temel kavram, Gödel sayılarının (formüllerin doğal sayılara benzersiz eşlenmesi) ve köşegenleştirmenin (fonksiyonlardaki serbest değişkenin ilgili Gödel sayısı ile değiştirilmesi) getirilmesidir. Gödel'in bu kavramları birleştirdiği önemli ispat fikri şu şekilde yazılabilir::
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
\(P(p)\) yanlış olamayacağından (aksi takdirde ispatlanabilir ve dolayısıyla doğru olacağından), \(P(p)\) doğru \(P(p)\) ve bu nedenle kanıtlanamaz. Dolayısıyla, bir dilde (herhangi bir aksiyom seçeneğiyle) kanıtlanamayan gerçek bir cümle her zaman vardır. Burada \(g\) Gödelization, \(p\) \(P\) yükleminin Gödel sayısıdır, bu, \(P\) nin tamamlayıcı arketipidir \(\overline{B}^*\) \(B\) (tümü Tüm kanıtlanabilir önermelerin gödel sayıları) köşegen fonksiyonu \(d\) .
Daha fazla okuma için , Gödel'in 1931 tarihli yayını ve Stepan Parunashvili'nin ufuk açıcı makalesi önerilir. Eksiklik teoremlerinin yanı sıra, Gödel, Cantor'un süreklilik hipotezinin çürütülemezliği ve modal mantık dilinde Tanrı'nın varlığına dair ontolojik argüman da dahil olmak üzere diğer çığır açan katkılarda bulunmuştur.