Kurt Gödel 1931'de ünlü Eksiklik Teoremlerini yayınladığında, matematiksel mantığın temellerini sarstı: Olası bir temel olarak kurulabilecek tüm aksiyomların, sayılarla ilgili tüm ifadeleri kanıtlamak için kaçınılmaz olarak eksik olduğunu reddetti ve bunu yok etti. Hilbert'in matematiksel teorinin tutarlılığını kanıtlama hayali.
Gödel sayılarının tanıtımı (formüllerin doğal sayılara kesin olarak eşleştirilmesi) ve köşegenleştirme (fonksiyonlardaki serbest değişkenin ilgili Gödel numarasıyla değiştirilmesi) Gödel'in ispatında sunduğu iki temel kavramdır. Gödel'in bu kavramları birleştirdiği kesin kanıt aşağıdaki gibi yazılabilir.:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
\(P(p)\) yanlış olamayacağından (aksi takdirde ispatlanabilir ve dolayısıyla doğru olacağından), \(P(p)\) doğru \(P(p)\) ve bu nedenle kanıtlanamaz. Dolayısıyla, bir dilde (herhangi bir aksiyom seçeneğiyle) kanıtlanamayan gerçek bir cümle her zaman vardır. Burada \(g\) Gödelization, \(p\) \(P\) yükleminin Gödel sayısıdır, bu, \(P\) nin tamamlayıcı arketipidir \(\overline{B}^*\) \(B\) (tümü Tüm kanıtlanabilir önermelerin gödel sayıları) köşegen fonksiyonu \(d\) .
Daha fazla okumak için Gödel'in 1931 yayınını ve Stepan Parunashvili'nin iyi okunan makalesini tavsiye ediyoruz. Eksiklik teoremlerine ek olarak Gödel, Cantor'un süreklilik hipotezinin reddedilemezliği ve modal mantık dilinde Tanrı'nın ontolojik kanıtı da dahil olmak üzere başka çığır açan başarılar elde etti.