Երբ Kurt Gödel- ը 1931 թ.-ին հրապարակեց իր հայտնի «Անավարտության թեորեմները», այն ցնցեց մաթեմատիկական տրամաբանության հիմքերը. Հիլբերտի երազանքը `ապացուցել մաթեմատիկական տեսության հետեւողականությունը:
Գոդելի թվերի ներդրումը (բանաձևերի յուրահատուկ քարտեզագրումը բնական թվերին) և անկյունագծացումը (ֆունկցիաներում ազատ փոփոխականի փոխարինումը իրենց համապատասխան Գոդելի թվով) երկու հիմնական հասկացություններ են, որոնք Գոդելը ներկայացնում է իր ապացույցների մեջ: Վճռական ապացույց գաղափարը, որում Գոդելը համատեղում է այս հասկացությունները, կարող է գրվել հետևյալ կերպ:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
Քանի որ \(P(p)\) չի կարող կեղծ լինել (քանի որ հակառակ դեպքում դա ապացուցելի կլիներ և այդպիսով ճշմարիտ էր), \(P(p)\) ճշմարիտ \(P(p)\) , ուստի ապացուցելի չէ: Այսպիսով, լեզվում միշտ կա ճշմարիտ նախադասություն (աքսիոմների ցանկացած ընտրությամբ), որը հնարավոր չէ ապացուցել: Այստեղ \(g\) Gödelization- ն է, \(p\) նախդիրի Gödel համարը \(P\) , որը հանդիսանում է \(\overline{B}^*\) - ի \(B\) ((բոլորի բազմությունը Բոլոր ապացուցելի դրույթների գոդելի թվերը) անկյունագծային գործառույթի ներքո \(d\) :
Հետագա ընթերցման համար խորհուրդ ենք տալիս Գոդելի 1931 թ. Հրապարակումը և Ստեփան Պարունաշվիլիի լավ կարդացած հոդվածը: Ի լրումն անավարտության թեորեմների, Գոդելը հասավ նաև այլ շրջադարձային նվաճումների, ներառյալ Կանտորի շարունակական վարկածի անառարկելիությունն ու Աստծո գոյաբանական ապացույցը մոդալ տրամաբանության լեզվով: