Երբ Kurt Gödel- ը 1931 թ.-ին հրապարակեց իր հայտնի «Անավարտության թեորեմները», այն ցնցեց մաթեմատիկական տրամաբանության հիմքերը. Հիլբերտի երազանքը `ապացուցել մաթեմատիկական տեսության հետեւողականությունը:
Գյոդելի թվերի ներմուծումը (բանաձևերի եզակի համապատասխանեցումը բնական թվերին) և անկյունագծացումը (ֆունկցիաներում ազատ փոփոխականի փոխարինումը համապատասխան Գյոդելի թվով) երկու կենտրոնական հասկացություններ են, որոնք Գյոդելը ներկայացնում է իր ապացույցում: Հիմնական ապացույցի գաղափարը, որում Գյոդելը համատեղում է այս հասկացությունները, կարելի է գրել հետևյալ կերպ::
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
Քանի որ \(P(p)\) չի կարող կեղծ լինել (քանի որ հակառակ դեպքում դա ապացուցելի կլիներ և այդպիսով ճշմարիտ էր), \(P(p)\) ճշմարիտ \(P(p)\) , ուստի ապացուցելի չէ: Այսպիսով, լեզվում միշտ կա ճշմարիտ նախադասություն (աքսիոմների ցանկացած ընտրությամբ), որը հնարավոր չէ ապացուցել: Այստեղ \(g\) Gödelization- ն է, \(p\) նախդիրի Gödel համարը \(P\) , որը հանդիսանում է \(\overline{B}^*\) - ի \(B\) ((բոլորի բազմությունը Բոլոր ապացուցելի դրույթների գոդելի թվերը) անկյունագծային գործառույթի ներքո \(d\) :
Լրացուցիչ ընթերցանության համար խորհուրդ է տրվում Գյոդելի 1931 թվականի հրատարակությունը և Ստեփան Պարունաշվիլիի խորաթափանց հոդվածը։ Անավարտության թեորեմներից բացի, Գյոդելը կատարել է այլ կարևորագույն ներդրումներ, այդ թվում՝ Կանտորի անընդհատության վարկածի անհերքելիությունը և Աստծո գոյության օնտոլոգիական փաստարկը մոդալ տրամաբանության լեզվով։