Când Kurt Gödel și-a publicat faimoasele Teoreme ale incompletitudinii în 1931, a zguduit bazele logicii matematice: El a respins că toate axiomele care pot fi stabilite ca o bază posibilă sunt inevitabil incomplete pentru a demonstra toate afirmațiile despre numere - și a distrus Visul lui Hilbert de a demonstra consistența teoriei matematice.
Introducerea numerelor Gödel (cartarea fără echivoc a formulelor la numerele naturale) și diagonalizarea (înlocuirea variabilei libere în funcții cu numărul lor Gödel respectiv) sunt două concepte centrale pe care Gödel le introduce în demonstrația sa. Ideea de dovadă decisivă în care Gödel combină aceste concepte poate fi scrisă după cum urmează:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
Deoarece \(P(p)\) nu poate fi fals (întrucât altfel ar putea fi demonstrat și astfel adevărat), \(P(p)\) adevărat și, prin urmare, să nu \(P(p)\) demonstrat. Deci, există întotdeauna o propoziție adevărată într-o limbă (cu orice alegere de axiome) care nu poate fi dovedită. Aici \(g\) Gödelization, \(p\) numărul Gödel al predicatului \(P\) , care este arhetipul complementar \(\overline{B}^*\) din \(B\) (setul tuturor Numere Godel ale tuturor propozițiilor demonstrabile) sub funcția diagonală \(d\) .
Pentru lecturi suplimentare recomandăm publicarea lui Gödel din 1931 și articolul lui Stepan Parunashvili, care merită citit. În plus față de teoremele incompletitudinii, Gödel a făcut și alte realizări revoluționare, inclusiv irefutabilitatea ipotezei continuumului lui Cantor și dovada ontologică a lui Dumnezeu în limbajul logicii modale.