Când Kurt Gödel și-a publicat faimoasele Teoreme ale incompletitudinii în 1931, a zguduit bazele logicii matematice: El a respins că toate axiomele care pot fi stabilite ca o bază posibilă sunt inevitabil incomplete pentru a demonstra toate afirmațiile despre numere - și a distrus Visul lui Hilbert de a demonstra consistența teoriei matematice.
Introducerea numerelor Gödel (aplicarea unică a formulelor la numere naturale) și diagonalizarea (înlocuirea variabilei libere în funcții cu numărul Gödel corespunzător) sunt două concepte centrale pe care Gödel le introduce în demonstrația sa. Ideea crucială a demonstrației în care Gödel combină aceste concepte poate fi scrisă după cum urmează.:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
Deoarece \(P(p)\) nu poate fi fals (întrucât altfel ar putea fi demonstrat și astfel adevărat), \(P(p)\) adevărat și, prin urmare, să nu \(P(p)\) demonstrat. Deci, există întotdeauna o propoziție adevărată într-o limbă (cu orice alegere de axiome) care nu poate fi dovedită. Aici \(g\) Gödelization, \(p\) numărul Gödel al predicatului \(P\) , care este arhetipul complementar \(\overline{B}^*\) din \(B\) (setul tuturor Numere Godel ale tuturor propozițiilor demonstrabile) sub funcția diagonală \(d\) .
Pentru lecturi suplimentare , se recomandă publicația lui Gödel din 1931 și articolul perspicace al lui Stepan Parunashvili . Pe lângă teoremele de incompletitudine, Gödel a adus și alte contribuții inovatoare, inclusiv irefutabilitatea ipotezei continuumului a lui Cantor și argumentul ontologic pentru existența lui Dumnezeu în limbajul logicii modale.