Когда Курт Гёдель опубликовал свои знаменитые теоремы о неполноте в 1931 году, это потрясло основы математической логики: он опроверг тот факт, что все аксиомы, которые могут быть приняты за основу, неизбежно неполны, чтобы доказать все утверждения о числах, - и разрушил это. Мечта Гильберта доказать непротиворечивость математической теории.
Введение чисел Гёделя (однозначное отображение формул в натуральные числа) и диагонализация (замена свободной переменной в функциях на их соответствующее число Гёделя) - два центральных понятия, которые Гёдель вводит в своем доказательстве. Идея решающего доказательства, в которой Гёдель объединяет эти концепции, может быть записана следующим образом:
$$P(p) \, \text{wahr} \Leftrightarrow p \in \, \overline{B}^* \Leftrightarrow d(p) \in \overline{B} \Leftrightarrow d(p) \notin B \Leftrightarrow g(P(p)) \notin B \Leftrightarrow P(p) \, \text{unbeweisbar}$$
Поскольку \(P(p)\) не может быть ложным (поскольку иначе было бы доказуемо и, следовательно, истинным), \(P(p)\) истинным и, следовательно, не доказуемым. Таким образом, всегда есть истинное предложение в языке (с любым выбором аксиом), которое нельзя доказать. Здесь \(g\) геделизация, \(p\) \(g\) геделевское число предиката \(P\) , который является дополнительным архетипом \(\overline{B}^*\) к \(B\) (множество всех Числа Геделя всех доказуемых предложений) при диагональной функции \(d\) .
Для дальнейшего чтения рекомендуем публикацию Гёделя 1931 года и хорошо прочитанную статью Степана Парунашвили . Помимо теорем о неполноте, Гёдель добился и других революционных достижений, включая неопровержимую гипотезу континуума Кантора и онтологическое доказательство Бога на языке модальной логики.