Njohuri bazë rreth thyesave: Thjeshtimi i faktorëve të ngjashëm lejohet. Thjeshtimi i shifrave të ngjashme nuk lejohet. E megjithatë, ka thyesa ku ky thjeshtim i ndaluar duket se funksionon. Ia vlen të shqyrtohet më nga afër një familje thyesash veçanërisht e thjeshtë: thyesat ku e njëjta shifër shfaqet në fund të numëruesit dhe në fillim të emëruesit.
Numëruesi tani duhet të përbëhet nga një numër \(a\) dhe një shifër e bashkangjitur \(x\) , emëruesi i së njëjtës shifër \(x\) dhe një numër i bashkangjitur \(c\):
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
Le të jetë numri i përgjithshëm i shifrave në numërues dhe emërues \(n \ge 2\) .
Pastaj \(a\) dhe \(c\) kanë secili \(k=n-1\) vende dhjetore. Për më tepër, le të \(x \in \{1,\dots,9\}\) .
Në sistemin decimal normal, kjo do të thotë:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
dhe
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
Fshirja e ndaluar, e cila po shqyrtohet këtu, do të ishte pra:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
Ne po kërkojmë pikërisht ato raste në të cilat vlera mbetet e pandryshuar.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
E gjithë struktura tani mund të nxirret nga transformime të thjeshta. Shumëzimi i kryqëzuar jep...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
Kur shumëzohet,:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
Nëse i kombinoni termat në mënyrë të përshtatshme, rrjedh se:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
Meqenëse \(a\) dhe \(c\) janë secili numra të plotë pozitivë \(k\) shifra, \(a10^kc>0\) . Kjo ndodh sepse \(a10^k\) është gjithmonë më i madh se çdo numër me \(k\) me shifra \(c\) . Prandaj, mund të pjesëtojmë dhe të marrim kushtin qendror.:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
Kjo formulë përshkruan saktësisht kur funksionon thjeshtimi i dukshëm në këtë formë të veçantë. Nuk është vetëm i nevojshëm, por edhe i mjaftueshëm: Nëse ky ekuacion është i vërtetë, atëherë të gjitha transformimet mund të përmbysen dhe të çojnë përsëri në rezultatin origjinal.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Pika thelbësore është se shprehja \(\frac{9ac}{a10^kc}\) duhet të rezultojë përfundimisht në një shifër të vetme dhjetore nga \(\{1,\dots,9\}\) . Vetëm atëherë lind një thyesë e tillë. Për thyesat e duhura \(a<c\) . Atëherë \(\frac{a}{c}<1\) është gjithashtu e vërtetë, dhe për shkak të barazisë së vlerave, thyesa origjinale është gjithashtu e duhur.
Formula \(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) është shumë e përshtatshme për provën. Megjithatë, një formë pak e rirregulluar është më praktike për gjetjen e shembujve të tillë. Nga ekuacioni \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) kemi marrë tashmë \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) . Në mënyrë ekuivalente, kemi \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) .
Tani faktorizojmë pjesëtuesin e përbashkët të \(a\) dhe \(x\) . Le \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) . Atëherë ekzistojnë numra \(b\) dhe \(y\) të tillë që \(\displaystyle a=gb\) , \(\displaystyle x=gy\) dhe \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) . Duke e zëvendësuar këtë me \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) marrim \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) . Meqenëse \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) , faktori \(9b+y\) duhet ta pjesëtojë plotësisht shprehjen \(\displaystyle x10^k\) . Nëse vendosim \(\displaystyle d=9b+y\) , atëherë \(\displaystyle d\mid x10^k\) dhe gjithashtu \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) . Anasjelltas, nga pjesëtues të tillë mund të marrim drejtpërdrejt
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
dhe
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
Kjo do të thotë që nuk keni më nevojë të verboheni. \(a\) dhe \(c\) Provojini. Për çdo shifër. \(x\in\{1,\dots,9\}\), çdo ndarës \(g\mid x\) dhe çdo ndarës i përshtatshëm \(d\mid x10^k\) Pranohen kandidatë. E tëra çfarë mbetet është të kontrollohet nëse \(a\) dhe \(c\) me të vërtetë \(k\)Janë -shifra dhe, nëse doni thyesa të vërteta, nëse \(a\) dhe \(c\) me të vërtetë \(k\)Janë -shifra dhe, nëse doni thyesa të vërteta, nëse \(a<c\) zbatohet.
Dy shembuj:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
Këtu, shifra \(6\) fshihet.
Një shembull dukshëm më i gjatë me \(42\) secili dhe anulim rekursiv është:
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
Edhe këtu, e njëjta shifër hiqet: në numërues \(6\) e fundit, në emërues \(6\) e parë.