Notions de base sur les fractions : la simplification des facteurs communs est autorisée, mais pas celle des chiffres identiques. Pourtant, il existe des fractions pour lesquelles cette simplification interdite semble fonctionner. Il est intéressant d'examiner de plus près une famille de fractions particulièrement simple : celles où le même chiffre apparaît à la fois au numérateur et au dénominateur.
Le numérateur doit maintenant être composé d'un nombre \(a\) et d'un chiffre \(x\) ajouté, le dénominateur du même chiffre \(x\) et d'un nombre \(c\) ajouté.:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
Soit le nombre total de chiffres au numérateur et au dénominateur \(n \ge 2\) .
Alors \(a\) et \(c\) ont chacun \(k=n-1\) décimales. De plus, soit \(x \in \{1,\dots,9\}\) .
En notation décimale normale, cela signifie:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
et
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
La suppression interdite, qui est examinée ici, serait donc:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
Nous recherchons précisément les cas où la valeur reste inchangée.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
La structure entière peut désormais être obtenue par de simples transformations. La multiplication croisée donne…:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
Lorsqu'on les multiplie, les:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
Si vous combinez correctement les termes, il s'ensuit que:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
Puisque \(a\) et \(c\) sont chacun des entiers positifs \(k\) chiffres, \(a10^kc>0\) . En effet, \(a10^k\) est toujours supérieur à tout nombre \(k\) \(c\) chiffres. Par conséquent, on peut effectuer une division et obtenir la condition centrale.:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
Cette formule décrit précisément les conditions dans lesquelles une simplification apparente fonctionne sous cette forme particulière. Elle est non seulement nécessaire, mais aussi suffisante : si cette équation est vérifiée, alors toutes les transformations sont réversibles et permettent de retrouver le résultat initial.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Le point crucial est que l'expression \(\frac{9ac}{a10^kc}\) doit finalement donner un chiffre décimal unique parmi \(\{1,\dots,9\}\) . Ce n'est qu'à cette condition qu'une telle fraction apparaît. Pour les fractions propres \(a<c\) . Alors \(\frac{a}{c}<1\) , et du fait de l'égalité des valeurs, la fraction initiale est également propre.
La formule \(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) est très pratique pour la démonstration. Cependant, une forme légèrement réarrangée est plus pratique pour trouver concrètement de tels exemples. À partir de l'équation \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) nous avons déjà obtenu \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) . De manière équivalente, nous avons \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) .
Maintenant, factorisons le diviseur commun de \(a\) et \(x\) . Soit \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) . Alors il existe des nombres \(b\) et \(y\) tels que \(\displaystyle a=gb\) , \(\displaystyle x=gy\) et \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) . En substituant cette expression dans \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) on obtient \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) . Puisque \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) , le facteur \(9b+y\) divise complètement l'expression \(\displaystyle x10^k\) . Si l'on pose \(\displaystyle d=9b+y\) , alors \(\displaystyle d\mid x10^k\) et aussi \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) . Réciproquement, à partir de tels diviseurs, on peut obtenir directement
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
et
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
Cela signifie que vous n'aurez plus à devenir aveugle. \(a\) et \(c\) Essayez-les. Pour chaque chiffre. \(x\in\{1,\dots,9\}\), chaque séparateur \(g\mid x\) et tout séparateur approprié \(d\mid x10^k\) On reçoit des candidats. Il ne reste plus qu'à vérifier si \(a\) et \(c\) vraiment \(k\)Sont des chiffres et, si vous voulez des fractions réelles, que \(a\) et \(c\) vraiment \(k\)Sont des chiffres et, si vous voulez des fractions réelles, que \(a<c\) s'applique.
Deux exemples:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
Ici, le chiffre \(6\) est supprimé.
Un exemple nettement plus long, avec \(42\) chacune et une simplification récursive, est:
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
Ici aussi, le même chiffre est supprimé : au numérateur le dernier \(6\) , au dénominateur le premier \(6\) .