Базові знання про дроби: Спрощення подібних дільників дозволено. Спрощення подібних цифр – ні. І все ж є дроби, для яких це заборонене спрощення, здається, працює. Варто детальніше розглянути особливо просту групу дробів: дроби, у яких однакова цифра стоїть в кінці чисельника та на початку знаменника.
Чисельник тепер повинен складатися з числа \(a\) та доданої до нього цифри \(x\) , знаменника тієї ж цифри \(x\) та доданого до нього числа \(c\):
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
Нехай загальна кількість цифр у чисельнику та знаменнику дорівнює \(n \ge 2\) .
Тоді \(a\) та \(c\) мають \(k=n-1\) знаків після коми. Крім того, нехай \(x \in \{1,\dots,9\}\) .
У звичайній десятковій системі числення це означає:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
і
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
Заборонене видалення, яке тут розглядається, таким чином буде:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
Ми шукаємо саме ті випадки, в яких значення залишається незмінним.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Всю структуру тепер можна отримати за допомогою простих перетворень. Перехресне множення дає...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
При множенні, то:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
Якщо правильно поєднати терміни, то виходить, що:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
Оскільки \(a\) та \(c\) є \(k\) цифровими додатними цілими числами, \(a10^kc>0\) . Це пояснюється тим, що \(a10^k\) завжди більше за будь-яке \(k\) цифрове число \(c\) . Отже, ми можемо поділити та отримати центральну умову.:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
Ця формула точно описує, коли спрацьовує удаване спрощення в цій спеціальній формі. Воно не лише необхідне, але й достатнє: якщо це рівняння виконується, то всі перетворення можна скасувати та повернути до початкового результату.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Найважливішим моментом є те, що вираз \(\frac{9ac}{a10^kc}\) повинен зрештою призводити до однієї цифри після коми від \(\{1,\dots,9\}\) . Тільки тоді виникає такий дріб. Для правильних дробів додатково потрібно \(a<c\) . Тоді \(\frac{a}{c}<1\) також є істинним, і через рівність значень початковий дріб також є правильним.
Формула \(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) дуже зручна для доведення. Однак, дещо перебудована форма є більш практичною для фактичного знаходження таких прикладів. З рівняння \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) ми вже отримали \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) . Еквівалентно, маємо \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) .
Тепер розкладемо на множники спільний дільник \(a\) та \(x\) . Нехай \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) . Тоді існують числа \(b\) та \(y\) такі, що \(\displaystyle a=gb\) , \(\displaystyle x=gy\) та \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) . Підставляючи це в \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) отримуємо \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) . Оскільки \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) , множник \(9b+y\) повинен повністю ділити вираз \(\displaystyle x10^k\) . Якщо ми покладемо \(\displaystyle d=9b+y\) , тоді \(\displaystyle d\mid x10^k\) а також \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) . Навпаки, з таких дільників ми можемо безпосередньо отримати
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
і
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
Це означає, що вам більше не доведеться осліпнути. \(a\) і \(c\) Спробуйте їх. Для кожної цифри. \(x\in\{1,\dots,9\}\), кожен дільник \(g\mid x\) і кожен відповідний роздільник \(d\mid x10^k\) Ви отримуєте кандидатів. Залишається лише перевірити, чи \(a\) і \(c\) справді \(k\)Є -цифрами, і, якщо вам потрібні дійсні дроби, чи \(a\) і \(c\) справді \(k\)Є -цифрами, і, якщо вам потрібні дійсні дроби, чи \(a<c\) застосовується.
Два приклади:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
Тут цифру \(6\) видалено.
Значно довший приклад з \(42\) знаками після коми та рекурсивним скороченням::
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
Тут також видаляється та сама цифра: у чисельнику остання \(6\) , у знаменнику перша \(6\) .