Pengetahuan asas tentang pecahan: Mempermudahkan faktor yang sama dibenarkan. Mempermudahkan digit yang sama tidak dibenarkan. Namun begitu, terdapat pecahan di mana penyederhanaan yang dilarang ini nampaknya berkesan. Adalah wajar untuk mengkaji keluarga pecahan yang sangat mudah dengan lebih teliti: pecahan di mana digit yang sama muncul di hujung pengangka dan di awal penyebut.
Pengangka kini harus terdiri daripada nombor \(a\) dan digit yang dilampirkan \(x\) , penyebut digit yang sama \(x\) dan nombor yang dilampirkan \(c\):
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
Biar jumlah digit dalam pengangka dan penyebut ialah \(n \ge 2\) .
Kemudian \(a\) dan \(c\) masing-masing mempunyai \(k=n-1\) tempat perpuluhan. Tambahan pula, katakan \(x \in \{1,\dots,9\}\) .
Dalam notasi perpuluhan biasa, ini bermakna:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
dan
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
Oleh itu, penghapusan yang dilarang, yang sedang dikaji di sini, akan:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
Kami sedang mencari dengan tepat kes-kes di mana nilainya kekal tidak berubah.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Keseluruhan struktur kini boleh diterbitkan daripada transformasi mudah. Pendaraban silang menghasilkan...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
Apabila didarabkan,:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
Jika anda menggabungkan istilah-istilah tersebut dengan betul, maka ia akan:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
Oleh kerana \(a\) dan \(c\) setiap satu ialah integer positif \(k\) digit, \(a10^kc>0\) . Ini kerana \(a10^k\) sentiasa lebih besar daripada sebarang nombor digit \(k\) \(c\) . Oleh itu, kita boleh membahagi dan mendapatkan syarat pusat.:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
Formula ini menerangkan dengan tepat bila penyederhanaan ketara berfungsi dalam bentuk khas ini. Ia bukan sahaja perlu tetapi juga mencukupi: Jika persamaan ini terpakai, maka semua transformasi boleh diterbalikkan dan membawa kembali kepada hasil asal.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Perkara pentingnya ialah ungkapan \(\frac{9ac}{a10^kc}\) mesti menghasilkan satu digit perpuluhan daripada \(\{1,\dots,9\}\) . Hanya selepas itu pecahan sedemikian timbul. Untuk pecahan wajar \(a<c\) diperlukan tambahan. Maka \(\frac{a}{c}<1\) juga benar, dan kerana kesamaan nilai, pecahan asal juga wajar.
Formula \(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) sangat mudah untuk pembuktian. Walau bagaimanapun, bentuk yang disusun semula sedikit adalah lebih praktikal untuk mencari contoh sedemikian. Daripada persamaan \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) kita telah memperoleh \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) . Setaraf dengannya, kita mempunyai \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) .
Sekarang kita faktorkan pembahagi sepunya bagi \(a\) dan \(x\) . Katakan \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) . Kemudian terdapat nombor \(b\) dan \(y\) supaya \(\displaystyle a=gb\) , \(\displaystyle x=gy\) , dan \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) . Dengan menggantikannya dengan \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) kita dapat \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) . Oleh kerana \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) , faktor \(9b+y\) mesti membahagikan sepenuhnya ungkapan \(\displaystyle x10^k\) . Jika kita tetapkan \(\displaystyle d=9b+y\) , maka \(\displaystyle d\mid x10^k\) dan juga \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) . Sebaliknya, daripada pembahagi sedemikian kita boleh mendapatkan secara langsung
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
dan
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
Ini bermakna anda tidak perlu lagi menjadi buta. \(a\) dan \(c\) Cubalah. Untuk setiap digit. \(x\in\{1,\dots,9\}\), setiap pembahagi \(g\mid x\) dan setiap pembahagi yang sesuai \(d\mid x10^k\) Seseorang menerima calon. Apa yang tinggal hanyalah untuk menyemak sama ada \(a\) dan \(c\) sungguh \(k\)Adalah -digit dan, jika anda mahukan pecahan nyata, sama ada \(a\) dan \(c\) sungguh \(k\)Adalah -digit dan, jika anda mahukan pecahan nyata, sama ada \(a<c\) terpakai.
Dua contoh:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
Di sini, digit \(6\) dipadamkan.
Satu contoh yang jauh lebih panjang dengan \(42\) setiap satu dan pembatalan rekursif ialah:
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
Di sini juga, digit yang sama dialih keluar: dalam pengangka \(6\) terakhir, dalam penyebut \(6\) pertama.