Основные сведения о дробях: упрощение подобных множителей разрешено. Упрощение подобных цифр запрещено. И все же существуют дроби, где это запрещенное упрощение, кажется, работает. Стоит подробнее рассмотреть особенно простое семейство дробей: дроби, в которых одна и та же цифра находится в конце числителя и в начале знаменателя.
Теперь числитель должен состоять из числа \(a\) и добавленной цифры \(x\) , а знаменатель — из той же цифры \(x\) и добавленного числа \(c\):
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
Пусть общее количество цифр в числителе и знаменателе равно \(n \ge 2\) .
Тогда \(a\) и \(c\) имеют по \(k=n-1\) десятичных знаков. Кроме того, пусть \(x \in \{1,\dots,9\}\) .
В обычной десятичной записи это означает::
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
а также
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
Таким образом, запрещенное удаление, которое здесь рассматривается, будет следующим::
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
Мы ищем именно те случаи, когда значение остается неизменным.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Теперь всю структуру можно вывести из простых преобразований. Перекрестное умножение дает...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
При умножении на:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
Если правильно сопоставить эти термины, то отсюда следует, что:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
Поскольку \(a\) и \(c\) — положительные целые числа с \(k\) цифрами, \(a10^kc>0\) . Это потому, что \(a10^k\) всегда больше любого числа с \(k\) цифрами \(c\) . Следовательно, мы можем разделить и получить центральное условие.:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
Эта формула точно описывает, когда кажущееся упрощение работает в этой особой форме. Она не только необходима, но и достаточна: если это уравнение выполняется, то все преобразования можно обратить вспять и вернуть к исходному результату.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Ключевым моментом является то, что выражение \(\frac{9ac}{a10^kc}\) в конечном итоге должно давать одну десятичную цифру из \(\{1,\dots,9\}\) . Только тогда возникает такая дробь. Для правильных дробей дополнительно требуется \(a<c\) . Тогда \(\frac{a}{c}<1\) также верно, и, поскольку значения равны, исходная дробь также является правильной.
Формула \(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) очень удобна для доказательства. Однако слегка перегруппированная форма более практична для фактического поиска таких примеров. Из уравнения \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) мы уже получили \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) . Эквивалентно, мы имеем \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) .
Теперь разложим на множители общий делитель чисел \(a\) и \(x\) . Пусть \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) . Тогда существуют числа \(b\) и \(y\) такие, что \(\displaystyle a=gb\) , \(\displaystyle x=gy\) и \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) . Подставляя это в \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) получаем \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) . Поскольку \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) , множитель \(9b+y\) должен полностью делить выражение \(\displaystyle x10^k\) . Если мы положим \(\displaystyle d=9b+y\) , то \(\displaystyle d\mid x10^k\) , а также \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) . И наоборот, из таких делителей мы можем непосредственно получить
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
а также
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
Это значит, что вам больше не придётся ослепнуть. \(a\) а также \(c\) Попробуйте их. Для каждой цифры. \(x\in\{1,\dots,9\}\), каждый разделитель \(g\mid x\) и все подходящие разделители \(d\mid x10^k\) Получаем кандидатов. Остается только проверить, соответствуют ли они требованиям. \(a\) а также \(c\) Действительно \(k\)Являются цифрами, а если вам нужны настоящие дроби, то... \(a\) а также \(c\) Действительно \(k\)Являются цифрами, а если вам нужны настоящие дроби, то... \(a<c\) применяется.
Два примера:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
Здесь цифра \(6\) удалена.
Значительно более длинный пример, каждый из которых содержит \(42\) знака и сопровождается рекурсивным сокращением, выглядит следующим образом::
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
Здесь также удаляется та же цифра: в числителе последняя \(6\) , в знаменателе первая \(6\) .