دانش پایه در مورد کسرها: ساده کردن عوامل مشابه مجاز است. ساده کردن ارقام مشابه مجاز نیست. و با این حال، کسرهایی وجود دارند که به نظر میرسد این سادهسازی ممنوعه در آنها کار میکند. بررسی دقیقتر یک خانوادهی ساده از کسرها ارزشمند است: کسرهایی که در آنها رقم یکسانی در انتهای صورت و ابتدای مخرج ظاهر میشود.
اکنون صورت باید شامل یک عدد \(a\) و یک رقم اضافه \(x\) باشد، مخرج همان رقم \(x\) و یک عدد اضافه \(c\):
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
فرض کنید تعداد کل ارقام صورت و مخرج برابر \(n \ge 2\) باشد.
سپس \(a\) و \(c\) هر کدام \(k=n-1\) رقم اعشار دارند. علاوه بر این، فرض کنید \(x \in \{1,\dots,9\}\) .
در نمادگذاری اعشاری معمولی، این به این معنی است:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
و
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
بنابراین، حذف ممنوعه که در اینجا بررسی میشود، عبارت خواهد بود از::
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
ما دقیقاً به دنبال مواردی هستیم که در آنها مقدار بدون تغییر باقی بماند.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
اکنون میتوان کل ساختار را از تبدیلهای ساده استخراج کرد. ضرب متقاطع نتیجه میدهد...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
وقتی ضرب شود،:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
اگر اصطلاحات را به طور مناسب ترکیب کنید، نتیجه میشود که:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
از آنجایی که \(a\) و \(c\) هر کدام \(k\) رقم صحیح مثبت هستند، \(a10^kc>0\) . دلیل این امر این است که \(a10^k\) همیشه از هر \(k\) رقم \(c\) بزرگتر است. بنابراین، میتوانیم تقسیم کنیم و شرط مرکزی را بدست آوریم.:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
این فرمول دقیقاً توضیح میدهد که سادهسازی ظاهری در این شکل خاص چه زمانی مؤثر است. این فرمول نه تنها لازم، بلکه کافی نیز هست: اگر این معادله برقرار باشد، میتوان تمام تبدیلها را معکوس کرد و به نتیجه اصلی رسید.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
نکتهی حیاتی این است که عبارت \(\frac{9ac}{a10^kc}\) در نهایت باید به یک رقم اعشار از \(\{1,\dots,9\}\) منجر شود. تنها در این صورت چنین کسری به وجود میآید. برای کسرهای سره \(a<c\) نیز لازم است. سپس \(\frac{a}{c}<1\) نیز درست است و به دلیل برابری مقادیر، کسر اصلی نیز سره است.
فرمول \(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) برای اثبات بسیار مناسب است. با این حال، یک شکل کمی بازآرایی شده برای یافتن چنین مثالهایی عملیتر است. از معادله \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) ما قبلاً \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) را بدست آوردهایم. به طور معادل، \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) را داریم.
حالا مقسوم علیه مشترک \(a\) و \(x\) را فاکتور میگیریم. فرض کنید \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) . سپس اعداد \(b\) و \(y\) وجود دارند به طوری که \(\displaystyle a=gb\) ، \(\displaystyle x=gy\) و \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) . با جایگذاری این در \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) را بدست میآوریم. از آنجایی که \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) ، فاکتور \(9b+y\) باید عبارت \(\displaystyle x10^k\) را به طور کامل تقسیم کند. اگر \(\displaystyle d=9b+y\) قرار دهیم، آنگاه \(\displaystyle d\mid x10^k\) و همچنین \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) را خواهیم داشت. برعکس، از چنین مقسومعلیههایی میتوانیم مستقیماً به دست آوریم
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
و
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
این یعنی دیگر لازم نیست کور شوید. \(a\) و \(c\) آنها را امتحان کنید. برای هر رقم. \(x\in\{1,\dots,9\}\), هر جداکننده \(g\mid x\) و هر جداکنندهی مناسبی \(d\mid x10^k\) کاندیداها پذیرفته میشوند. تنها کاری که باقی میماند این است که بررسی کنیم آیا \(a\) و \(c\) واقعاً \(k\)ارقام هستند و اگر کسرهای حقیقی میخواهید، چه \(a\) و \(c\) واقعاً \(k\)ارقام هستند و اگر کسرهای حقیقی میخواهید، چه \(a<c\) اعمال میشود.
دو مثال:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
در اینجا، رقم \(6\) حذف شده است.
یک مثال بسیار طولانیتر با \(42\) برای هر کدام و حذف بازگشتی به صورت زیر است::
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
در اینجا نیز، همان رقم حذف شده است: در صورت، آخرین \(6\) و در مخرج، اولین \(6\) .