Cunoștințe de bază despre fracții: Simplificarea factorilor identici este permisă. Simplificarea cifrelor identice nu este permisă. Și totuși, există fracții în care această simplificare interzisă pare să funcționeze. Merită să examinăm mai atent o familie de fracții deosebit de simplă: fracțiile în care aceeași cifră apare la sfârșitul numărătorului și la începutul numitorului.
Numărătorul ar trebui să fie format acum dintr-un număr \(a\) și o cifră adăugată \(x\) , numitorul aceleiași cifre \(x\) și un număr adăugat \(c\):
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
Fie numărul total de cifre din numărător și numitor \(n \ge 2\) .
Atunci \(a\) și \(c\) au fiecare \(k=n-1\) zecimale. În plus, fie \(x \in \{1,\dots,9\}\) .
În notația zecimală normală, aceasta înseamnă:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
și
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
Ștergerea interzisă, care este examinată aici, ar fi, prin urmare,:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
Căutăm tocmai acele cazuri în care valoarea rămâne neschimbată.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Întreaga structură poate fi acum derivată din transformări simple. Înmulțirea încrucișată produce...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
Când este înmulțit,:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
Dacă combinați termenii în mod corespunzător, rezultă că:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
Deoarece \(a\) și \(c\) sunt fiecare numere întregi pozitive \(k\) cifre, \(a10^kc>0\) . Acest lucru se datorează faptului că \(a10^k\) este întotdeauna mai mare decât orice număr cu \(k\) cifre \(c\) . Prin urmare, putem împărți și obține condiția centrală.:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
Această formulă descrie exact când funcționează simplificarea aparentă în această formă specială. Nu este doar necesară, ci și suficientă: Dacă această ecuație este valabilă, atunci toate transformările pot fi inversate și pot duce înapoi la rezultatul inițial.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Punctul crucial este că expresia \(\frac{9ac}{a10^kc}\) trebuie să aibă ca rezultat în cele din urmă o singură cifră zecimală din \(\{1,\dots,9\}\) . Numai atunci apare o astfel de fracție. Pentru fracțiile proprii \(a<c\) . Atunci \(\frac{a}{c}<1\) este, de asemenea, adevărată și, din cauza egalității valorilor, fracția originală este, de asemenea, proprie.
Formula \(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) este foarte convenabilă pentru demonstrație. Cu toate acestea, o formă ușor rearanjată este mai practică pentru găsirea unor astfel de exemple. Din ecuația \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) am obținut deja \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) . În mod echivalent, avem \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) .
Acum descompunem în factori divizorul comun al lui \(a\) și \(x\) . Fie \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) . Atunci există numere \(b\) și \(y\) astfel încât \(\displaystyle a=gb\) , \(\displaystyle x=gy\) și \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) . Înlocuind aceasta în \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) obținem \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) . Deoarece \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) , factorul \(9b+y\) trebuie să împartă complet expresia \(\displaystyle x10^k\) . Dacă stabilim \(\displaystyle d=9b+y\) , atunci \(\displaystyle d\mid x10^k\) și, de asemenea, \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) . Invers, din astfel de divizori putem obține direct
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
și
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
Asta înseamnă că nu mai trebuie să orbești. \(a\) și \(c\) Încearcă-le. Pentru fiecare cifră. \(x\in\{1,\dots,9\}\), fiecare divizor \(g\mid x\) și fiecare divizor potrivit \(d\mid x10^k\) Primești candidați. Tot ce rămâne este să verifici dacă \(a\) și \(c\) într-adevăr \(k\)Sunt -cifre și, dacă doriți fracții reale, dacă \(a\) și \(c\) într-adevăr \(k\)Sunt -cifre și, dacă doriți fracții reale, dacă \(a<c\) se aplică.
Două exemple:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
Aici, cifra \(6\) este ștearsă.
Un exemplu semnificativ mai lung, cu câte \(42\) fiecare și anulare recursivă, este:
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
Și aici se elimină aceeași cifră: la numărător ultimul \(6\) , la numitor primul \(6\) .