Kawruh dhasar babagan pecahan: Nyederhanakake faktor sing padha diidinake. Nyederhanakake angka sing padha ora diidinake. Nanging, ana pecahan sing katon yen penyederhanaan iki dilarang. Prelu ditliti luwih teliti babagan kulawarga pecahan sing prasaja: pecahan sing angka sing padha katon ing pungkasan pembilang lan ing awal penyebut.
Pembilang saiki kudune kasusun saka angka \(a\) lan digit sing ditambahake \(x\) , penyebut digit sing padha \(x\) lan angka sing ditambahake \(c\):
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
Gunggunge digit ing pembilang lan penyebut dadi \(n \ge 2\) .
Banjur \(a\) lan \(c\) saben-saben duwe \(k=n-1\) papan desimal. Salajengipun, ayo \(x \in \{1,\dots,9\}\) .
Ing notasi desimal normal, iki tegese:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
lan
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
Mula, penghapusan sing dilarang, sing lagi ditliti ing kene, bakal:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
Kita nggoleki persis kasus-kasus ing ngendi nilaine tetep ora owah.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Struktur sakabèhé saiki bisa dijupuk saka transformasi prasaja. Perkalian silang ngasilaké...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
Nalika dikalikan,:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
Yen sampeyan nggabungake istilah-istilah kasebut kanthi bener, mula bakal ana:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
Amarga \(a\) lan \(c\) saben digit \(k\) minangka bilangan bulat positif, \(a10^kc>0\) . Iki amarga \(a10^k\) mesthi luwih gedhe tinimbang angka \(k\) digit \(c\) . Mulane, kita bisa mbagi lan entuk kondisi pusat.:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
Rumus iki njlèntrèhaké kanthi tepat kapan penyederhanaan sing katon bisa digunakaké ing wangun khusus iki. Iki ora mung perlu nanging uga cukup: Yen persamaan iki bener, mula kabèh transformasi bisa dibalèkaké lan bali menyang asil asliné.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Poin penting yaiku ekspresi \(\frac{9ac}{a10^kc}\) pungkasane kudu ngasilake siji digit desimal saka \(\{1,\dots,9\}\) . Mung sawise iku pecahan kasebut muncul. Kanggo pecahan sing tepat \(a<c\) uga dibutuhake. Banjur \(\frac{a}{c}<1\) uga bener, lan amarga padhane nilai, pecahan asli uga tepat.
Rumus \(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) trep banget kanggo bukti. Nanging, wujud sing rada diatur ulang luwih praktis kanggo nemokake conto kasebut. Saka persamaan \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) kita wis entuk \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) . Padha karo, kita duwe \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) .
Saiki kita faktorake pembagi umum saka \(a\) lan \(x\) . Ayo \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) . Banjur ana angka \(b\) lan \(y\) sing \(\displaystyle a=gb\) , \(\displaystyle x=gy\) , lan \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) . Substitusi iki menyang \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) kita entuk \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) . Amarga \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) , faktor \(9b+y\) kudu mbagi ekspresi \(\displaystyle x10^k\) kanthi lengkap. Yen kita nyetel \(\displaystyle d=9b+y\) , mula \(\displaystyle d\mid x10^k\) lan uga \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) . Kosok baline, saka pembagi kasebut kita bisa langsung entuk
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
lan
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
Iki tegese sampeyan ora perlu wuta maneh. \(a\) lan \(c\) Cobanen. Kanggo saben digit. \(x\in\{1,\dots,9\}\), saben pembagi \(g\mid x\) lan saben pamisah sing cocog \(d\mid x10^k\) Siji nampa calon. Sing isih ana yaiku mriksa apa \(a\) lan \(c\) tenan \(k\)Yaiku -digit lan, yen sampeyan pengin pecahan nyata, apa \(a\) lan \(c\) tenan \(k\)Yaiku -digit lan, yen sampeyan pengin pecahan nyata, apa \(a<c\) ditrapake.
Rong conto:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
Ing kene, digit \(6\) dibusak.
Conto sing luwih dawa kanthi \(42\) lan pembatalan rekursif yaiku:
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
Ing kene uga, digit sing padha dibusak: ing pembilang yaiku \(6\) pungkasan, ing penyebut yaiku \(6\) pisanan.