Бөлчөктөр жөнүндө негизги билимдер: Окшош көбөйтүүчүлөргө жөнөкөйлөтүүгө уруксат берилет. Цифрларга жөнөкөйлөтүүгө болбойт. Ошентсе да, бул тыюу салынган жөнөкөйлөтүү иштегендей көрүнгөн бөлчөктөр бар. Айрыкча жөнөкөй бөлчөктөр үй-бүлөсүн кененирээк карап чыгуу керек: бир эле цифра бөлүүчүнүн аягында жана бөлүүчүнүн башында пайда болгон бөлчөктөр.
Алым эми \(a\) санынан жана кошулган \(x\) цифрасынан, ошол эле \(x\) цифрасынын бөлүүчүсүнөн жана кошулган \(c\) санынан турушу керек.:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
Алымдагы жана бөлүүчүдөгү цифрлардын жалпы саны \(n \ge 2\) болсун.
Анда \(a\) жана \(c\) ар биринин \(k=n-1\) ондук белгиси бар. Андан тышкары, \(x \in \{1,\dots,9\}\) болсун.
Кадимки ондук сан жазууда бул дегенди билдирет:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
жана
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
Ошондуктан, бул жерде каралып жаткан тыюу салынган жок кылуу:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
Биз дал ошол маани өзгөрүүсүз калган учурларды издеп жатабыз.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Эми бүтүндөй түзүлүштү жөнөкөй өзгөртүүлөрдөн алууга болот. Кайчылаш көбөйтүү...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
Көбөйтүлгөндө,:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
Эгерде терминдерди туура бириктирсек, анда мындай болот:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
\(a\) жана \(c\) ар бир \(k\) орундуу оң бүтүн сандар болгондуктан, \(a10^kc>0\) . Себеби \(a10^k\) ар дайым каалаган \(k\) орундуу сандан \(c\) чоң. Ошондуктан, биз бөлүп, борбордук шартты ала алабыз.:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
Бул формула айкын жөнөкөйлөтүү качан ушул атайын формада иштээрин так сүрөттөйт. Бул зарыл гана эмес, ошондой эле жетиштүү: Эгерде бул теңдеме аткарылса, анда бардык трансформацияларды тескерисинче кылып, баштапкы натыйжага кайтарууга болот.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Эң маанилүү жагдай, \(\frac{9ac}{a10^kc}\) туюнтмасы акыры \(\{1,\dots,9\}\) ичинен бир ондук санды пайда кылышы керек. Ошондо гана мындай бөлчөк пайда болот. Туура бөлчөктөр үчүн кошумча \(a<c\) талап кылынат. Анда \(\frac{a}{c}<1\) да туура болот жана маанилердин теңдигинен улам баштапкы бөлчөк да туура болот.
Далилдөө үчүн \(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) формуласы абдан ыңгайлуу. Бирок, мындай мисалдарды табуу үчүн бир аз өзгөртүлгөн форма практикалык жактан пайдалуураак. \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) теңдемесинен биз \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) алдык. Ошо сыяктуу эле, бизде \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) бар.
Эми биз \(a\) жана \(x\) жалпы бөлгүчүн факторлорго бөлөбүз. \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) болсун. Анда \(b\) , \(y\) \(\displaystyle a=gb\) жана \(\displaystyle x=gy\) \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) . Муну \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) алабыз. \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) болгондуктан, \(9b+y\) \(\displaystyle x10^k\) туюнтмасын толугу менен бөлүшү керек. Эгерде биз \(\displaystyle d=9b+y\) деп койсок, анда \(\displaystyle d\mid x10^k\) жана ошондой эле \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) . Тескерисинче, мындай бөлгүчтөрдөн биз түздөн-түз ала алабыз
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
жана
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
Бул сиздин мындан ары сокур болуп калуунун кажети жок дегенди билдирет. \(a\) жана \(c\) Аларды колдонуп көрүңүз. Ар бир сан үчүн. \(x\in\{1,\dots,9\}\), ар бир бөлгүч \(g\mid x\) жана ар бир ылайыктуу бөлгүч \(d\mid x10^k\) Талапкерлерди кабыл алышат. Болгону текшерип көрүү керек \(a\) жана \(c\) чын эле \(k\)-цифрлар жана эгер сиз чыныгы бөлчөктөрдү кааласаңыз, \(a\) жана \(c\) чын эле \(k\)-цифрлар жана эгер сиз чыныгы бөлчөктөрдү кааласаңыз, \(a<c\) тиешелүү.
Эки мисал:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
Бул жерде \(6\) цифрасы өчүрүлөт.
Ар бири \(42\) белгиден турган жана рекурсивдүү жокко чыгаруу менен бир кыйла узунураак мисал::
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
Бул жерде да ошол эле цифра алынып салынат: алымдагы акыркы \(6\) , бөлүүчүдө биринчи \(6\) .