Grundwissen beim Thema Bruchrechnung: Das Kürzen gleicher Faktoren ist erlaubt. Das Kürzen gleicher Ziffern ist es nicht. Und doch gibt es Brüche, bei denen genau dieses verbotene Kürzen scheinbar funktioniert. Es lohnt sich, eine besonders einfache Familie genauer zu untersuchen: Brüche, bei denen dieselbe Ziffer am Ende des Zählers und am Anfang des Nenners steht.
Der Zähler soll nun aus einer Zahl \(a\) und einer angehängten Ziffer \(x\) bestehen, der Nenner aus derselben Ziffer \(x\) und einer daran angehängten Zahl \(c\):
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
Dabei sei die gesamte Stellenzahl von Zähler und Nenner jeweils \(n \ge 2\).
Dann haben \(a\) und \(c\) jeweils \(k=n-1\) Dezimalstellen. Außerdem sei \(x \in \{1,\dots,9\}\).
In normaler Dezimalschreibweise heißt das:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
und
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
Die verbotene, aber hier untersuchte Streichung wäre also:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
Gesucht sind genau die Fälle, in denen der Wert dabei unverändert bleibt:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Nun folgt die ganze Struktur bereits aus einfachem Umformen. Durch Kreuzmultiplikation erhält man:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
Ausmultipliziert ist das:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
Bringt man die Terme passend zusammen, folgt:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
Da \(a\) und \(c\) jeweils \(k\)-stellige positive ganze Zahlen sind, ist \(a10^k-c>0\). Denn \(a10^k\) ist auf jeden Fall größer als jede \(k\)-stellige Zahl \(c\). Damit darf man teilen und erhält die zentrale Bedingung:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
Diese Formel beschreibt exakt, wann das scheinbare Kürzen in dieser Spezialform funktioniert. Sie ist nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend: Gilt diese Gleichung, dann kann man alle Umformungen rückwärts lesen und landet wieder bei:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Entscheidend ist also: Der Ausdruck \(\frac{9ac}{a10^k-c}\) muss am Ende tatsächlich eine einzelne Dezimalziffer aus \(\{1,\dots,9\}\) ergeben. Nur dann entsteht ein solcher Bruch. Für echte Brüche fordert man zusätzlich \(a<c\). Dann ist nämlich auch \(\frac{a}{c}<1\) und wegen der Wertgleichheit ebenso der ursprüngliche Bruch echt.
Die Formel \(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^k-c}\) ist für den Beweis sehr angenehm. Zum tatsächlichen Finden solcher Beispiele ist aber eine leicht umgestellte Form praktischer. Aus der Gleichung \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) hatten wir bereits \(\displaystyle 9ac=x(a10^k-c)\) erhalten. Äquivalent dazu ist \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\).
Nun zerlegen wir den gemeinsamen Teiler von \(a\) und \(x\). Sei \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\). Dann gibt es Zahlen \(b\) und \(y\) mit \(\displaystyle a=gb\), \(\displaystyle x=gy\) und \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\). Eingesetzt in \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) ergibt das \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\). Da \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) gilt, muss der Faktor \(9b+y\) vollständig den Ausdruck \(\displaystyle x10^k\) teilen. Setzt man also \(\displaystyle d=9b+y\), dann gilt \(\displaystyle d\mid x10^k\) und außerdem \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\). Umgekehrt bekommt man aus solchen Teilern direkt
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
und
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
Damit muss man nicht mehr blind \(a\) und \(c\) durchprobieren. Für jede Ziffer \(x\in\{1,\dots,9\}\), jeden Teiler \(g\mid x\) und jeden passenden Teiler \(d\mid x10^k\) erhält man Kandidaten. Übrig bleibt nur noch zu prüfen, ob \(a\) und \(c\) wirklich \(k\)-stellig sind und, falls man echte Brüche will, ob \(a\) und \(c\) wirklich \(k\)-stellig sind und, falls man echte Brüche will, ob \(a<c\) gilt.
Zwei Beispiele:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
Hier wird die Ziffer \(6\) gestrichen.
Ein deutlich längeres Beispiel mit jeweils \(42\) Dezimalstellen und rekursivem Kürzen ist:
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
Auch hier wird dieselbe Ziffer gestrichen: im Zähler die letzte \(6\), im Nenner die erste \(6\).