ভগ্নাংশ সম্পর্কে প্রাথমিক জ্ঞান: একই উৎপাদকে সরল করা অনুমোদিত। একই অঙ্ককে সরল করা অনুমোদিত নয়। তবুও, এমন কিছু ভগ্নাংশ আছে যেখানে এই নিষিদ্ধ সরলীকরণটি কাজ করে বলে মনে হয়। এক বিশেষ সরল ভগ্নাংশ পরিবারকে আরও ঘনিষ্ঠভাবে পরীক্ষা করা যেতে পারে: সেইসব ভগ্নাংশ যেখানে একই অঙ্ক লবের শেষে এবং হরের শুরুতে থাকে।
এখন লবটিতে একটি সংখ্যা \(a\) এবং তার সাথে একটি অঙ্ক \(x\) থাকবে, এবং হরটিতেও সেই একই অঙ্ক \(x\) এবং তার সাথে একটি সংখ্যা \(c\) থাকবে।:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
ধরা যাক, লব এবং হরের মোট অঙ্কের সংখ্যা \(n \ge 2\) ।
তাহলে \(a\) এবং \(c\) প্রত্যেকের \(k=n-1\) দশমিক স্থান আছে। উপরন্তু, ধরা যাক \(x \in \{1,\dots,9\}\) ।
সাধারণ দশমিক পদ্ধতিতে, এর মানে হলো:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
এবং
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
সুতরাং, নিষিদ্ধ মুছে ফেলার বিষয়টি, যা এখানে পরীক্ষা করা হচ্ছে, হবে:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
আমরা ঠিক সেইসব ক্ষেত্রগুলোই খুঁজছি যেখানে মানটি অপরিবর্তিত থাকে।:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
সম্পূর্ণ কাঠামোটি এখন সাধারণ রূপান্তরের মাধ্যমে উদ্ভূত করা যেতে পারে। বজ্রগুণনের ফলে পাওয়া যায়...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
গুণ করলে,:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
যদি আপনি পদগুলো যথাযথভাবে একত্রিত করেন, তাহলে এটি অনুসরণ করে যে:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
যেহেতু \(a\) এবং \(c\) প্রত্যেকেই \(k\) অঙ্কের ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, \(a10^kc>0\) । এর কারণ হলো \(a10^k\) সর্বদা যেকোনো \(k\) অঙ্কের সংখ্যা \(c\) অপেক্ষা বৃহত্তর। সুতরাং, আমরা ভাগ করে কেন্দ্রীয় শর্তটি পেতে পারি।:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
এই সূত্রটি সুনির্দিষ্টভাবে বর্ণনা করে যে কখন এই বিশেষ রূপে আপাত সরলীকরণ কাজ করে। এটি কেবল প্রয়োজনীয়ই নয়, বরং যথেষ্টও বটে: যদি এই সমীকরণটি সত্য হয়, তবে সমস্ত রূপান্তরকে বিপরীত করা যায় এবং তা মূল ফলাফলে ফিরে যেতে পারে।:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
গুরুত্বপূর্ণ বিষয়টি হলো যে \(\frac{9ac}{a10^kc}\) রাশিটির চূড়ান্ত ফল অবশ্যই \(\{1,\dots,9\}\) থেকে একটি একক দশমিক অঙ্ক হতে হবে। কেবল তখনই এই ধরনের একটি ভগ্নাংশ তৈরি হয়। প্রকৃত ভগ্নাংশের জন্য \(a<c\) শর্তটি পূরণ হওয়া প্রয়োজন। তাহলে \(\frac{a}{c}<1\) শর্তটিও সত্য হয়, এবং মানগুলোর সমতার কারণে মূল ভগ্নাংশটিও প্রকৃত ভগ্নাংশ হয়।
\(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) সূত্রটি প্রমাণের জন্য খুবই সুবিধাজনক। তবে, বাস্তবে এই ধরনের উদাহরণ খুঁজে বের করার জন্য এর সামান্য পুনর্বিন্যস্ত রূপটি অধিকতর ব্যবহারিক। \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) সমীকরণ থেকে আমরা ইতিমধ্যেই \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) পেয়েছি। সমতুল্যভাবে, আমরা পাই \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) ।
এখন আমরা \(a\) এবং \(x\) এর সাধারণ উৎপাদককে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করব। ধরা যাক \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) । তাহলে এমন দুটি সংখ্যা \(b\) এবং \(y\) বিদ্যমান থাকবে যেন \(\displaystyle a=gb\) , \(\displaystyle x=gy\) , এবং \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) । এটিকে \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) -এ প্রতিস্থাপন করলে আমরা পাই \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) । যেহেতু \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) , তাই উৎপাদক \(9b+y\) অবশ্যই \(\displaystyle x10^k\) রাশিটিকে সম্পূর্ণরূপে ভাগ করবে। যদি আমরা \(\displaystyle d=9b+y\) ধরি, তাহলে \(\displaystyle d\mid x10^k\) এবং \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) । বিপরীতক্রমে, এই ধরনের ভাজকগুলো থেকে আমরা সরাসরি পেতে পারি
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
এবং
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
এর ফলে অন্ধভাবে \(a\) এবং \(c\) পরীক্ষা করার প্রয়োজন হয় না। প্রতিটি অঙ্ক \(x\in\{1,\dots,9\}\) , প্রতিটি ভাজক \(g\mid x\) , এবং প্রতিটি উপযুক্ত ভাজক \(d\mid x10^k\) জন্য সম্ভাব্য মান পাওয়া যায়। এখন শুধু পরীক্ষা করে দেখতে হবে যে \(a\) এবং \(c\) আসলেই \(k\) অঙ্কের কিনা এবং, যদি প্রকৃত ভগ্নাংশ চাওয়া হয়, তবে \(a<c\) কিনা। এই প্রক্রিয়াটি উল্লেখযোগ্যভাবে দ্রুততর, কারণ মোট সম্ভাব্য \(k\) অঙ্কের তুলনায় \(\displaystyle 10^k=2^k5^k\) -এর ভাজকের সংখ্যা খুবই কম।
দুটি উদাহরণ:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
এখানে, \(6\) অঙ্কটি মুছে ফেলা হয়েছে।
প্রতিটিতে \(42\) স্থান এবং পুনরাবৃত্তিমূলক বাতিলকরণ সহ একটি উল্লেখযোগ্যভাবে দীর্ঘ উদাহরণ হল:
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
এখানেও একই অঙ্কটি বাদ দেওয়া হয়: লব থেকে শেষের \(6\) , হর থেকে প্রথম \(6\) ।