Baza scio pri frakcioj: Simpligi similajn faktorojn estas permesite. Simpligi similajn ciferojn ne estas. Kaj tamen, ekzistas frakcioj kie ĉi tiu malpermesita simpligo ŝajnas funkcii. Indas ekzameni aparte simplan familion de frakcioj pli detale: frakcioj kie la sama cifero aperas ĉe la fino de la numeratoro kaj ĉe la komenco de la denominatoro.
La numeratoro nun devus konsisti el nombro \(a\) kaj aldonita cifero \(x\) , la denominatoro de la sama cifero \(x\) kaj aldonita nombro \(c\):
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
Estu la tuta nombro da ciferoj en la numeratoro kaj denominatoro \(n \ge 2\) .
Tiam \(a\) kaj \(c\) ĉiu havas \(k=n-1\) decimalojn. Plue, estu \(x \in \{1,\dots,9\}\) .
En normala decimala notacio, tio signifas:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
kaj
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
La malpermesita forigo, kiu estas ekzamenata ĉi tie, do estus:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
Ni serĉas ĝuste tiujn kazojn, en kiuj la valoro restas senŝanĝa.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
La tuta strukturo nun povas esti derivita el simplaj transformoj. Krucmultipliko donas...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
Kiam multiplikita, la:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
Se vi kombinas la terminojn konvene, sekvas, ke:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
Ĉar \(a\) kaj \(c\) estas ĉiu \(k\) ciferaj pozitivaj entjeroj, \(a10^kc>0\) . Tio estas ĉar \(a10^k\) estas ĉiam pli granda ol iu ajn \(k\) cifera nombro \(c\) . Tial, ni povas dividi kaj akiri la centran kondiĉon.:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
Ĉi tiu formulo priskribas precize kiam ŝajna simpligo funkcias en ĉi tiu speciala formo. Ĝi estas ne nur necesa sed ankaŭ sufiĉa: Se ĉi tiu ekvacio validas, tiam ĉiuj transformoj povas esti inversigitaj kaj konduki reen al la originala rezulto.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
La kerna punkto estas, ke la esprimo \(\frac{9ac}{a10^kc}\) devas finfine rezultigi unu decimalan ciferon el \(\{1,\dots,9\}\) . Nur tiam tia frakcio ekestas. Por propraj frakcioj \(a<c\) estas plie necesa. Tiam \(\frac{a}{c}<1\) ankaŭ veras, kaj pro la egaleco de valoroj, la originala frakcio ankaŭ estas propra.
La formulo \(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) estas tre oportuna por la pruvo. Tamen, iomete rearanĝita formo estas pli praktika por efektive trovi tiajn ekzemplojn. El la ekvacio \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) ni jam ricevis \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) . Ekvivalente, ni havas \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) .
Nun ni faktorigas la komunan dividanton de \(a\) kaj \(x\) . Estu \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) . Tiam ekzistas nombroj \(b\) kaj \(y\) tiaj, ke \(\displaystyle a=gb\) , \(\displaystyle x=gy\) , \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) Anstataŭigante ĉi tion en \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) ni ricevas \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) . Ĉar \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) , la faktoro \(9b+y\) devas tute dividi la esprimon \(\displaystyle x10^k\) . Se ni difinas \(\displaystyle d=9b+y\) , tiam \(\displaystyle d\mid x10^k\) kaj ankaŭ \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) . Male, el tiaj divizoroj ni povas rekte akiri
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
kaj
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
Tio signifas, ke vi jam ne plu devas blindiĝi. \(a\) kaj \(c\) Provu ilin. Por ĉiu cifero. \(x\in\{1,\dots,9\}\), ĉiu dividilo \(g\mid x\) kaj ĉiu taŭga dividilo \(d\mid x10^k\) Oni ricevas kandidatojn. Restas nur kontroli ĉu \(a\) kaj \(c\) vere \(k\)Estas -ciferoj kaj, se vi volas realajn frakciojn, ĉu \(a\) kaj \(c\) vere \(k\)Estas -ciferoj kaj, se vi volas realajn frakciojn, ĉu \(a<c\) aplikiĝas.
Du ekzemploj:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
Ĉi tie, la cifero \(6\) estas forigita.
Signife pli longa ekzemplo kun po \(42\) kaj rekursia nuligo estas:
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
Ankaŭ ĉi tie, la sama cifero estas forigita: en numeratoro la lasta \(6\) , en denominatoro la unua \(6\) .