Kesirler hakkında temel bilgiler: Aynı çarpanları sadeleştirmek serbesttir. Aynı rakamları sadeleştirmek ise yasaktır. Yine de, bu yasaklanmış sadeleştirmenin işe yaradığı görünen kesirler vardır. Özellikle basit bir kesir ailesini daha yakından incelemeye değer: Payın sonunda ve paydanın başında aynı rakamın bulunduğu kesirler.
Pay artık bir sayı \(a\) ve sonuna eklenmiş bir rakam \(x\) 'ten, payda ise aynı rakam \(x\) ve sonuna eklenmiş bir sayı \(c\) den oluşmalıdır.:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
Pay ve paydadaki toplam basamak sayısını \(n \ge 2\) olarak kabul edelim.
O halde \(a\) ve \(c\) her birinin \(k=n-1\) ondalık basamağı vardır. Ayrıca, \(x \in \{1,\dots,9\}\) olsun.
Normal ondalık gösterimde bu şu anlama gelir::
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
ve
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
Bu bağlamda incelenen yasaklı silme işlemi, dolayısıyla şu olacaktır::
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
Biz tam olarak değerin değişmeden kaldığı durumları arıyoruz.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Artık yapının tamamı basit dönüşümlerle elde edilebilir. Çapraz çarpma işlemi şu sonucu verir...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
Çarpım işlemi yapıldığında,:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
Terimleri uygun şekilde bir araya getirirseniz, şu sonuç çıkar::
$$9ac=x(a10^k-c)$$
\(a\) ve \(c\) her biri \(k\) basamaklı pozitif tamsayılar olduğundan, \(a10^kc>0\) olur. Bunun nedeni, \(a10^k\) her zaman herhangi bir \(k\) basamaklı sayı \(c\) den büyük olmasıdır. Bu nedenle, bölme işlemi yaparak merkezi koşulu elde edebiliriz.:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
Bu formül, görünürdeki basitleştirmenin bu özel biçimde ne zaman işe yaradığını tam olarak açıklamaktadır. Sadece gerekli değil, aynı zamanda yeterlidir: Eğer bu denklem geçerliyse, tüm dönüşümler tersine çevrilebilir ve orijinal sonuca geri dönülebilir.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Önemli nokta, \(\frac{9ac}{a10^kc}\) ifadesinin nihayetinde \(\{1,\dots,9\}\) kümesinden tek bir ondalık basamaklı sayı vermesi gerektiğidir. Ancak o zaman böyle bir kesir ortaya çıkar. Basit kesirler için ayrıca \(a<c\) gereklidir. O zaman \(\frac{a}{c}<1\) de doğrudur ve değerlerin eşitliği nedeniyle orijinal kesir de basit bir kesirdir.
\(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) formülü ispat için çok uygundur. Ancak, bu tür örnekleri bulmak için biraz yeniden düzenlenmiş bir form daha pratiktir. \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) denkleminden zaten \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) elde ettik. Eşdeğer olarak, \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) elde ederiz.
Şimdi, \(a\) ve \(x\) 'in ortak bölenini çarpanlarına ayıralım. \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) olsun. O halde \(b\) displaystyle a=gb \(y\) ), \(\displaystyle a=gb\) ve \(\displaystyle x=gy\) \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) . Bunu \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) elde ederiz. \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) olduğundan, \(9b+y\) çarpanı \(\displaystyle x10^k\) ifadesini tam olarak bölmelidir. Eğer \(\displaystyle d=9b+y\) olarak tanımlarsak, o zaman \(\displaystyle d\mid x10^k\) ve ayrıca \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) . Tersine, bu tür bölenlerden doğrudan şunu elde edebiliriz:
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
ve
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
Bu, artık kör olmanıza gerek olmadığı anlamına geliyor. \(a\) ve \(c\) Deneyin. Her rakam için. \(x\in\{1,\dots,9\}\), her bir bölücü \(g\mid x\) ve her uygun ayırıcı \(d\mid x10^k\) Adayları alıyorsunuz. Geriye kalan tek şey, adayların uygun olup olmadığını kontrol etmek. \(a\) ve \(c\) Gerçekten \(k\)- basamaklı sayılardır ve eğer gerçek kesirler istiyorsanız, \(a\) ve \(c\) Gerçekten \(k\)- basamaklı sayılardır ve eğer gerçek kesirler istiyorsanız, \(a<c\) geçerlidir.
İki örnek:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
Burada, \(6\) rakamı silinmiştir.
Her biri \(42\) basamağa sahip ve özyinelemeli sadeleştirme içeren çok daha uzun bir örnek şöyledir::
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
Burada da aynı rakam çıkarılıyor: payda son \(6\) , paydada ilk \(6\) .