Podstawowa wiedza o ułamkach: Upraszczanie podobnych czynników jest dozwolone. Upraszczanie podobnych cyfr nie. A jednak istnieją ułamki, w których to niedozwolone uproszczenie zdaje się działać. Warto bliżej przyjrzeć się szczególnie prostej rodzinie ułamków: ułamkom, w których ta sama cyfra występuje na końcu licznika i na początku mianownika.
Licznik powinien teraz składać się z liczby \(a\) i dołączonej cyfry \(x\) , mianownik powinien składać się z tej samej cyfry \(x\) i dołączonej liczby \(c\):
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
Niech łączna liczba cyfr w liczniku i mianowniku będzie wynosić \(n \ge 2\) .
Wówczas \(a\) i \(c\) mają po \(k=n-1\) miejsc dziesiętnych. Ponadto niech \(x \in \{1,\dots,9\}\) .
W standardowym zapisie dziesiętnym oznacza to:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
oraz
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
Zabronione usuwanie, które jest tutaj przedmiotem analizy, byłoby zatem:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
Szukamy dokładnie takich przypadków, w których wartość pozostaje niezmienna.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Całą strukturę można teraz uzyskać poprzez prostą manipulację. Mnożenie krzyżowe daje...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
Po pomnożeniu,:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
Jeśli połączysz te terminy odpowiednio, wynika z tego, że:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
Ponieważ \(a\) i \(c\) są dodatnimi liczbami całkowitymi o \(k\) cyfrach, \(a10^kc>0\) . Dzieje się tak, ponieważ \(a10^k\) jest zawsze większe niż dowolna liczba \(k\) cyfr \(c\) . Możemy zatem podzielić i uzyskać warunek centralny.:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
Ten wzór dokładnie opisuje, kiedy pozorne uproszczenie działa w tej szczególnej formie. Jest ono nie tylko konieczne, ale i wystarczające: jeśli to równanie jest spełnione, wszystkie transformacje można odwrócić i doprowadzić do pierwotnego wyniku.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Kluczowe jest to, że wyrażenie \(\frac{9ac}{a10^kc}\) musi ostatecznie dać w wyniku pojedynczą cyfrę dziesiętną z \(\{1,\dots,9\}\) . Dopiero wtedy powstaje taki ułamek. W przypadku ułamków właściwych wymagane jest dodatkowo \(a<c\) . Wtedy \(\frac{a}{c}<1\) jest również prawdziwe, a ze względu na równość wartości, pierwotny ułamek jest również właściwy.
Wzór \(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) jest bardzo wygodny do dowodu. Jednak nieco przekształcona forma jest bardziej praktyczna do faktycznego znajdowania takich przykładów. Z równania \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) otrzymaliśmy już \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) . Równoważnie, mamy \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) .
Teraz rozkładamy wspólny dzielnik \(a\) i \(x\) . Niech \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) . Wówczas istnieją liczby \(b\) i \(y\) takie, że \(\displaystyle a=gb\) , \(\displaystyle x=gy\) i \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) . Podstawiając to do \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) otrzymujemy \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) . Ponieważ \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) , czynnik \(9b+y\) musi całkowicie dzielić wyrażenie \(\displaystyle x10^k\) . Jeśli ustawimy \(\displaystyle d=9b+y\) , to \(\displaystyle d\mid x10^k\) i również \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) . Odwrotnie, z takich dzielników możemy bezpośrednio uzyskać
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
oraz
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
Oznacza to, że nie musisz już być ślepy. \(a\) oraz \(c\) Wypróbuj je. Dla każdej cyfry. \(x\in\{1,\dots,9\}\), każdy dzielnik \(g\mid x\) i każdy odpowiedni dzielnik \(d\mid x10^k\) Przyjmuje się kandydatów. Pozostaje tylko sprawdzić, czy \(a\) oraz \(c\) Naprawdę \(k\)Są cyframi i jeśli chcesz uzyskać rzeczywiste ułamki, czy \(a\) oraz \(c\) Naprawdę \(k\)Są cyframi i jeśli chcesz uzyskać rzeczywiste ułamki, czy \(a<c\) dotyczy.
Dwa przykłady:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
Tutaj cyfra \(6\) jest usuwana.
Znacznie dłuższym przykładem, z \(42\) i rekurencyjnym anulowaniem jest:
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
Tutaj również usuwamy tę samą cyfrę: w liczniku ostatnią \(6\) , w mianowniku pierwszą \(6\) .