भिन्नों के बारे में बुनियादी जानकारी: समान गुणनखंडों को सरल बनाना मान्य है। समान अंकों को सरल बनाना मान्य नहीं है। फिर भी, कुछ भिन्न ऐसे होते हैं जिनमें यह वर्जित सरलीकरण कारगर प्रतीत होता है। भिन्नों के एक विशेष रूप से सरल समूह का अधिक बारीकी से अध्ययन करना महत्वपूर्ण है: वे भिन्न जिनमें अंश के अंत और हर के आरंभ में एक ही अंक होता है।
अब अंश में एक संख्या \(a\) और एक अतिरिक्त अंक \(x\) होना चाहिए, जबकि हर में वही अंक \(x\) और एक अतिरिक्त संख्या \(c\) होनी चाहिए।:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
अंश और हर में अंकों की कुल संख्या \(n \ge 2\) है।
तब \(a\) और \(c\) प्रत्येक में \(k=n-1\) दशमलव स्थान हैं। इसके अलावा, मान लीजिए \(x \in \{1,\dots,9\}\) ।
सामान्य दशमलव संकेतन में, इसका अर्थ है:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
तथा
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
यहां जिस निषिद्ध विलोपन की जांच की जा रही है, वह इस प्रकार होगा::
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
हम ठीक उन्हीं मामलों की तलाश कर रहे हैं जिनमें मूल्य अपरिवर्तित रहता है।:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
अब सरल हेरफेर से संपूर्ण संरचना प्राप्त की जा सकती है। क्रॉस-गुणा करने पर...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
गुणा करने पर,:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
यदि आप इन शब्दों को उचित रूप से संयोजित करते हैं, तो यह निष्कर्ष निकलता है कि:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
चूंकि \(a\) और \(c\) दोनों ही \(k\) अंकों की धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ हैं, \(a10^kc>0\) । इसका कारण यह है कि \(a10^k\) किसी भी \(k\) अंकों की संख्या \(c\) से हमेशा बड़ी होती है। अतः, हम भाग देकर केंद्रीय शर्त प्राप्त कर सकते हैं।:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
यह सूत्र बताता है कि इस विशेष रूप में स्पष्ट सरलीकरण कब कारगर होता है। यह न केवल आवश्यक है बल्कि पर्याप्त भी है: यदि यह समीकरण सत्य है, तो सभी रूपांतरणों को उलट कर मूल परिणाम तक वापस पहुँचा जा सकता है।:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
महत्वपूर्ण बात यह है कि व्यंजक \(\frac{9ac}{a10^kc}\) अंततः \(\{1,\dots,9\}\) से एक दशमलव अंक में परिणत होना चाहिए। तभी ऐसा भिन्न बनता है। उचित भिन्नों के लिए \(a<c\) भी आवश्यकता होती है। तब \(\frac{a}{c}<1\) भी सत्य होता है, और मानों की समानता के कारण, मूल भिन्न भी उचित भिन्न होता है।
प्रमाण के लिए सूत्र \(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) बहुत सुविधाजनक है। हालाँकि, ऐसे उदाहरणों को वास्तव में खोजने के लिए थोड़ा पुनर्व्यवस्थित रूप अधिक व्यावहारिक है। समीकरण \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) से हमें पहले ही \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) प्राप्त हो चुका है। समतुल्य रूप से, हमारे पास \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) है।
अब हम \(a\) और \(x\) के उभयनिष्ठ भाजक का गुणनखंड करते हैं। मान लीजिए \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) । तब ऐसी संख्याएँ \(b\) और \(y\) मौजूद हैं कि \(\displaystyle a=gb\) , \(\displaystyle x=gy\) , और \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) । इसे \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) में प्रतिस्थापित करने पर हमें \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) प्राप्त होता है। चूंकि \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) , इसलिए गुणनखंड \(9b+y\) व्यंजक \(\displaystyle x10^k\) पूर्णतः विभाजित कर देगा। यदि हम \(\displaystyle d=9b+y\) मान लें, तो \(\displaystyle d\mid x10^k\) और साथ ही \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) भी प्राप्त होगा। इसके विपरीत, ऐसे विभाजकों से हम सीधे प्राप्त कर सकते हैं।
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
तथा
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
इसका मतलब है कि अब आपको अंधा नहीं होना पड़ेगा। \(a\) तथा \(c\) इन्हें आजमा कर देखें। प्रत्येक अंक के लिए। \(x\in\{1,\dots,9\}\), प्रत्येक विभाजक \(g\mid x\) और प्रत्येक उपयुक्त विभाजक \(d\mid x10^k\) उम्मीदवारों की प्राप्ति हो जाती है। अब बस यह जांचना बाकी है कि क्या \(a\) तथा \(c\) वास्तव में \(k\)क्या ये अंक हैं और यदि आप वास्तविक भिन्न चाहते हैं, तो क्या \(a\) तथा \(c\) वास्तव में \(k\)क्या ये अंक हैं और यदि आप वास्तविक भिन्न चाहते हैं, तो क्या \(a<c\) लागू होता है।
दो उदाहरण:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
यहां, अंक \(6\) हटा दिया गया है।
एक काफी लंबा उदाहरण जिसमें प्रत्येक में \(42\) स्थान हैं और पुनरावर्ती निरस्तीकरण है, वह इस प्रकार है::
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
यहां भी, वही अंक हटा दिया गया है: अंश में अंतिम \(6\) , हर में पहला \(6\) ।