Grundlæggende viden om brøker: Det er tilladt at forenkle ens faktorer. Det er ikke tilladt at forenkle ens cifre. Og alligevel er der brøker, hvor denne forbudte forenkling ser ud til at virke. Det er værd at undersøge en særlig simpel brøkfamilie nærmere: brøker, hvor det samme ciffer optræder i slutningen af tælleren og i begyndelsen af nævneren.
Tælleren skal nu bestå af et tal \(a\) og et tilføjet ciffer \(x\) , nævneren af det samme ciffer \(x\) og et tilføjet tal \(c\):
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
Lad det samlede antal cifre i tælleren og nævneren være \(n \ge 2\) .
Så har \(a\) og \(c\) hver \(k=n-1\) decimaler. Lad endvidere \(x \in \{1,\dots,9\}\) .
I normal decimalnotation betyder dette:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
og
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
Den forbudte sletning, som undersøges her, ville derfor være:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
Vi leder efter netop de tilfælde, hvor værdien forbliver uændret.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Hele strukturen kan nu udledes ved simpel manipulation. Krydsmultiplikation giver...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
Når den ganges ud,:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
Hvis man kombinerer begreberne korrekt, følger det, at:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
Da \(a\) og \(c\) hver især er \(k\) cifrede positive heltal, \(a10^kc>0\) . Dette skyldes, at \(a10^k\) altid er større end et hvilket som helst \(k\) cifret tal \(c\) . Derfor kan vi dividere og få den centrale betingelse.:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
Denne formel beskriver præcis, hvornår tilsyneladende forenkling fungerer i denne særlige form. Den er ikke kun nødvendig, men også tilstrækkelig: Hvis denne ligning holder, kan alle transformationer vendes om og føre tilbage til det oprindelige resultat.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Det afgørende punkt er, at udtrykket \(\frac{9ac}{a10^kc}\) i sidste ende skal resultere i et enkelt decimalciffer fra \(\{1,\dots,9\}\) . Først da opstår en sådan brøk. For ægte brøker kræves \(a<c\) yderligere. Så er \(\frac{a}{c}<1\) også sand, og på grund af værdiernes lighed er den oprindelige brøk også ægte.
Formlen \(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) er meget bekvem til beviset. En let omarrangeret form er dog mere praktisk til rent faktisk at finde sådanne eksempler. Fra ligningen \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) har vi allerede fået \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) . Tilsvarende har vi \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) .
Nu faktoriserer vi den fælles divisor af \(a\) og \(x\) . Lad \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) . Så findes der tal \(b\) og \(y\) , således at \(\displaystyle a=gb\) , \(\displaystyle x=gy\) og \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) . Ved at indsætte dette i \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) får vi \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) . Da \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) , skal faktoren \(9b+y\) dividere udtrykket \(\displaystyle x10^k\) fuldstændigt. Hvis vi sætter \(\displaystyle d=9b+y\) , så \(\displaystyle d\mid x10^k\) og også \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) . Omvendt kan vi fra sådanne divisorer direkte få
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
og
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
Det betyder, at du ikke længere behøver at blive blind. \(a\) og \(c\) Prøv dem af. For hvert ciffer. \(x\in\{1,\dots,9\}\), hver rumdeler \(g\mid x\) og enhver passende skillevæg \(d\mid x10^k\) Du modtager kandidater. Alt, der er tilbage, er at kontrollere, om \(a\) og \(c\) virkelig \(k\)Er -cifre, og hvis du vil have reelle brøker, om \(a\) og \(c\) virkelig \(k\)Er -cifre, og hvis du vil have reelle brøker, om \(a<c\) gælder.
To eksempler:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
Her slettes cifferet \(6\) .
Et betydeligt længere eksempel med \(42\) hver og rekursiv annullering er:
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
Også her fjernes det samme ciffer: i tælleren den sidste \(6\) , i nævneren den første \(6\) .