Βασικές γνώσεις σχετικά με τα κλάσματα: Η απλοποίηση όμοιων παραγόντων επιτρέπεται. Η απλοποίηση όμοιων ψηφίων όχι. Κι όμως, υπάρχουν κλάσματα όπου αυτή η απαγορευμένη απλοποίηση φαίνεται να λειτουργεί. Αξίζει να εξετάσουμε μια ιδιαίτερα απλή οικογένεια κλασμάτων πιο προσεκτικά: τα κλάσματα όπου το ίδιο ψηφίο εμφανίζεται στο τέλος του αριθμητή και στην αρχή του παρονομαστή.
Ο αριθμητής θα πρέπει τώρα να αποτελείται από έναν αριθμό \(a\) και ένα προσαρτημένο ψηφίο \(x\) , τον παρονομαστή του ίδιου ψηφίου \(x\) και έναν προσαρτημένο αριθμό \(c\):
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
Έστω ο συνολικός αριθμός ψηφίων στον αριθμητή και τον παρονομαστή \(n \ge 2\) .
Τότε τα \(a\) και \(c\) έχουν έκαστο \(k=n-1\) δεκαδικά ψηφία. Επιπλέον, έστω \(x \in \{1,\dots,9\}\) .
Στην κανονική δεκαδική σημειογραφία, αυτό σημαίνει:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
και
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
Η απαγορευμένη διαγραφή, η οποία εξετάζεται εδώ, θα ήταν επομένως:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
Αναζητούμε ακριβώς εκείνες τις περιπτώσεις στις οποίες η τιμή παραμένει αμετάβλητη.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Ολόκληρη η δομή μπορεί τώρα να προκύψει από απλούς μετασχηματισμούς. Ο διασταυρούμενος πολλαπλασιασμός αποδίδει...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
Όταν πολλαπλασιαστεί, το:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
Αν συνδυάσετε τους όρους κατάλληλα, προκύπτει ότι:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
Δεδομένου ότι \(a\) και \(c\) είναι έκαστο \(k\) θετικοί ακέραιοι αριθμοί, \(a10^kc>0\) . Αυτό συμβαίνει επειδή \(a10^k\) είναι πάντα μεγαλύτερο από οποιοδήποτε \(k\) ψηφίο \(c\) . Επομένως, μπορούμε να διαιρέσουμε και να λάβουμε την κεντρική συνθήκη.:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
Αυτός ο τύπος περιγράφει ακριβώς πότε λειτουργεί η φαινομενική απλοποίηση σε αυτή την ειδική μορφή. Δεν είναι μόνο απαραίτητη αλλά και επαρκής: Εάν ισχύει αυτή η εξίσωση, τότε όλοι οι μετασχηματισμοί μπορούν να αντιστραφούν και να οδηγήσουν πίσω στο αρχικό αποτέλεσμα.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Το κρίσιμο σημείο είναι ότι η έκφραση \(\frac{9ac}{a10^kc}\) πρέπει τελικά να έχει ως αποτέλεσμα ένα μόνο δεκαδικό ψηφίο από το \(\{1,\dots,9\}\) . Μόνο τότε προκύπτει ένα τέτοιο κλάσμα. Για τα γνήσια κλάσματα \(a<c\) . Τότε ισχύει και \(\frac{a}{c}<1\) και, λόγω της ισότητας των τιμών, το αρχικό κλάσμα είναι επίσης γνήσιο.
Ο τύπος \(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) είναι πολύ βολικός για την απόδειξη. Ωστόσο, μια ελαφρώς αναδιαταχθείσα μορφή είναι πιο πρακτική για την εύρεση τέτοιων παραδειγμάτων. Από την εξίσωση \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) έχουμε ήδη λάβει \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) . Ισοδύναμα, έχουμε \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) .
Τώρα παραγοντοποιούμε τον κοινό διαιρέτη των \(a\) και \(x\) . Έστω \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) . Τότε υπάρχουν αριθμοί \(b\) και \(y\) τέτοιοι ώστε \(\displaystyle a=gb\) , \(\displaystyle x=gy\) και \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) . Αντικαθιστώντας αυτό με \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) παίρνουμε \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) . Δεδομένου ότι \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) , ο παράγοντας \(9b+y\) πρέπει να διαιρεί πλήρως την έκφραση \(\displaystyle x10^k\) . Αν ορίσουμε \(\displaystyle d=9b+y\) , τότε \(\displaystyle d\mid x10^k\) και επίσης \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) . Αντίστροφα, από τέτοιους διαιρέτες μπορούμε να λάβουμε άμεσα
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
και
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
Αυτό σημαίνει ότι δεν χρειάζεται πλέον να τυφλώνεστε. \(a\) και \(c\) Δοκιμάστε τα. Για κάθε ψηφίο. \(x\in\{1,\dots,9\}\), κάθε διαχωριστικό \(g\mid x\) και κάθε κατάλληλο διαχωριστικό \(d\mid x10^k\) Κάποιος δέχεται υποψηφίους. Το μόνο που μένει είναι να ελέγξει αν \(a\) και \(c\) πραγματικά \(k\)Είναι -ψηφία και, αν θέλετε πραγματικά κλάσματα, αν \(a\) και \(c\) πραγματικά \(k\)Είναι -ψηφία και, αν θέλετε πραγματικά κλάσματα, αν \(a<c\) ισχύει.
Δύο παραδείγματα:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
Εδώ, το ψηφίο \(6\) διαγράφεται.
Ένα σημαντικά μεγαλύτερο παράδειγμα με \(42\) ψηφία το καθένα και αναδρομική ακύρωση είναι:
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
Και εδώ, το ίδιο ψηφίο αφαιρείται: στον αριθμητή το τελευταίο \(6\) , στον παρονομαστή το πρώτο \(6\) .