Basiskennis over breuken: Het vereenvoudigen van gelijke factoren is toegestaan. Het vereenvoudigen van gelijke cijfers is niet toegestaan. En toch zijn er breuken waarbij deze verboden vereenvoudiging lijkt te werken. Het is de moeite waard om een bijzonder eenvoudige familie van breuken eens nader te bekijken: breuken waarbij hetzelfde cijfer aan het einde van de teller en aan het begin van de noemer voorkomt.
De teller moet nu bestaan uit een getal \(a\) en een toegevoegd cijfer \(x\) , de noemer uit hetzelfde cijfer \(x\) en een toegevoegd getal \(c\):
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
Laat het totale aantal cijfers in de teller en de noemer gelijk zijn aan \(n \ge 2\) .
Dan hebben \(a\) en \(c\) elk \(k=n-1\) decimalen. Verder geldt \(x \in \{1,\dots,9\}\) .
In de normale decimale notatie betekent dit::
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
en
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
De verboden verwijdering, die hier wordt onderzocht, zou daarom zijn::
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
We zijn juist op zoek naar die gevallen waarin de waarde onveranderd blijft.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
De volledige structuur kan nu worden afgeleid door eenvoudige manipulatie. Kruisvermenigvuldiging levert op...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
Wanneer dit wordt uitvergroot,:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
Als je de termen op de juiste manier combineert, volgt daaruit dat:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
Omdat \(a\) en \(c\) beide positieve gehele getallen \(k\) cijfers zijn, \(a10^kc>0\) . Dit komt doordat \(a10^k\) altijd groter is dan elk getal van \(k\) cijfers \(c\) . Daarom kunnen we delen en de centrale voorwaarde verkrijgen.:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
Deze formule beschrijft precies wanneer schijnbare vereenvoudiging werkt in deze specifieke vorm. Het is niet alleen noodzakelijk, maar ook voldoende: als deze vergelijking geldt, kunnen alle transformaties worden teruggedraaid en leiden ze terug naar het oorspronkelijke resultaat.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Het cruciale punt is dat de uitdrukking \(\frac{9ac}{a10^kc}\) uiteindelijk één decimaal cijfer moet opleveren uit \(\{1,\dots,9\}\) . Alleen dan ontstaat zo'n breuk. Voor echte breuken is bovendien \(a<c\) vereist. Dan is \(\frac{a}{c}<1\) ook waar, en vanwege de gelijkheid van waarden is de oorspronkelijke breuk ook een echte breuk.
De formule \(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) is erg handig voor het bewijs. Een licht herschikte vorm is echter praktischer om dergelijke voorbeelden daadwerkelijk te vinden. Uit de vergelijking \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) hebben we al \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) verkregen. Equivalent hiermee is \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) .
Nu ontbinden we de gemeenschappelijke deler van \(a\) en \(x\) . Laat \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) . Dan bestaan er getallen \(b\) en \(y\) zodanig dat \(\displaystyle a=gb\) , \(\displaystyle x=gy\) en \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) . Door dit te substitueren in \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) krijgen we \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) . Omdat \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) , moet de factor \(9b+y\) de uitdrukking \(\displaystyle x10^k\) volledig delen. Als we \(\displaystyle d=9b+y\) stellen, dan \(\displaystyle d\mid x10^k\) en ook \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) . Omgekeerd kunnen we uit dergelijke delers direct het volgende verkrijgen:
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
en
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
Dit betekent dat je niet langer blind hoeft te worden. \(a\) en \(c\) Probeer ze eens uit. Voor elk cijfer. \(x\in\{1,\dots,9\}\), elke scheidingswand \(g\mid x\) en elke geschikte scheidingswand \(d\mid x10^k\) U ontvangt kandidaten. Het enige wat nog rest, is controleren of \(a\) en \(c\) Echt \(k\)Zijn cijfers en, als je echte breuken wilt, of \(a\) en \(c\) Echt \(k\)Zijn cijfers en, als je echte breuken wilt, of \(a<c\) van toepassing.
Twee voorbeelden:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
Hier wordt het cijfer \(6\) verwijderd.
Een aanzienlijk langer voorbeeld met \(42\) decimalen is:
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{16666666666666666666666666666666666666666}{66666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
Ook hier wordt hetzelfde cijfer verwijderd: in de teller de laatste \(6\) , in de noemer de eerste \(6\) .