معلومات أساسية عن الكسور: يُسمح بتبسيط العوامل المتشابهة، بينما لا يُسمح بتبسيط الأرقام المتشابهة. ومع ذلك، توجد كسور يبدو أن هذا التبسيط المحظور ينجح فيها. يجدر بنا دراسة مجموعة بسيطة من الكسور عن كثب: الكسور التي يظهر فيها الرقم نفسه في نهاية البسط وبداية المقام.
يجب أن يتكون البسط الآن من رقم \(a\) ورقم ملحق \(x\) ، والمقام من نفس الرقم \(x\) ورقم ملحق \(c\):
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
لنفترض أن العدد الإجمالي للأرقام في البسط والمقام هو \(n \ge 2\) .
إذن، لكل من \(a\) و \(c\) عدد من المنازل العشرية يساوي \(k=n-1\) . علاوة على ذلك، ليكن \(x \in \{1,\dots,9\}\) .
في التدوين العشري العادي، هذا يعني:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
و
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
وبالتالي، فإن الحذف المحظور، الذي يتم فحصه هنا، سيكون:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
نحن نبحث تحديداً عن تلك الحالات التي تبقى فيها القيمة دون تغيير.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
يمكن الآن اشتقاق البنية بأكملها من تحويلات بسيطة. ينتج عن الضرب التبادلي...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
عند ضربها، فإن:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
إذا قمت بدمج المصطلحات بشكل مناسب، فسيترتب على ذلك ما يلي::
$$9ac=x(a10^k-c)$$
بما أن \(a\) و \(c\) عددان صحيحان موجبان مكونان \(k\) ، \(a10^kc>0\) وذلك لأن \(a10^k\) أكبر دائمًا من أي عدد \(k\) \(c\) . لذا، يمكننا القسمة والحصول على الشرط الأساسي.:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
تصف هذه الصيغة بدقة متى ينجح التبسيط الظاهري في هذا الشكل الخاص. وهي ليست ضرورية فحسب، بل كافية أيضاً: إذا تحققت هذه المعادلة، فيمكن عكس جميع التحويلات والعودة إلى النتيجة الأصلية.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
النقطة الأساسية هي أن المقدار \(\frac{9ac}{a10^kc}\) يجب أن ينتج عنه في النهاية رقم عشري واحد من المجموعة \(\{1,\dots,9\}\) . عندها فقط ينشأ هذا الكسر. بالنسبة للكسور الحقيقية \(a<c\) . عندها يكون \(\frac{a}{c}<1\) صحيحًا أيضًا، وبسبب تساوي القيم، يكون الكسر الأصلي كسرًا حقيقيًا أيضًا.
الصيغة \(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) ملائمة جدًا للبرهان. مع ذلك، فإن صيغة مُعاد ترتيبها قليلًا أكثر عملية لإيجاد أمثلة كهذه. من المعادلة \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) حصلنا بالفعل على \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) . وبالمثل، لدينا \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) .
الآن، نحلل القاسم المشترك للعددين \(a\) و \(x\) . لنفترض أن \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) . إذن، يوجد عددان \(b\) و \(y\) بحيث يكون \(\displaystyle a=gb\) ، \(\displaystyle x=gy\) ، و \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) . بالتعويض بهذه القيم في المعادلة \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) نحصل على \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) . بما أن \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) ، فإن العامل \(9b+y\) يقسم المقدار \(\displaystyle x10^k\) قسمة تامة. إذا وضعنا \(\displaystyle d=9b+y\) ، فإن \(\displaystyle d\mid x10^k\) و \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) . وبالعكس، يمكننا الحصول مباشرةً من هذه القواسم على
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
و
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
هذا يعني أنك لم تعد مضطراً لفقدان بصرك. \(a\) و \(c\) جربها. لكل رقم. \(x\in\{1,\dots,9\}\), كل فاصل \(g\mid x\) وكل فاصل مناسب \(d\mid x10^k\) يتم استقبال المرشحين. كل ما تبقى هو التحقق مما إذا كانوا \(a\) و \(c\) حقًا \(k\)هي أرقام، وإذا كنت تريد كسورًا حقيقية، فـ \(a\) و \(c\) حقًا \(k\)هي أرقام، وإذا كنت تريد كسورًا حقيقية، فـ \(a<c\) ينطبق.
مثالان:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
هنا، يتم حذف الرقم \(6\) .
مثال أطول بكثير يحتوي على \(42\) لكل منها واختزال متكرر هو:
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
وهنا أيضًا، يتم حذف نفس الرقم: في البسط يتم حذف الرقم الأخير \(6\) ، وفي المقام يتم حذف الرقم الأول \(6\) .