Nozioni di base sulle frazioni: è consentito semplificare i fattori simili, ma non le cifre uguali. Eppure, esistono frazioni in cui questa semplificazione, altrimenti vietata, sembra funzionare. Vale la pena esaminare più da vicino una famiglia di frazioni particolarmente semplice: quelle in cui la stessa cifra compare sia alla fine del numeratore che all'inizio del denominatore.
Il numeratore dovrebbe ora essere costituito da un numero \(a\) e da una cifra \(x\) aggiunta, il denominatore dalla stessa cifra \(x\) e da un numero \(c\) aggiunto.:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
Sia \(n \ge 2\) . il numero totale di cifre nel numeratore e nel denominatore.
Quindi \(a\) e \(c\) hanno ciascuno \(k=n-1\) cifre decimali. Inoltre, sia \(x \in \{1,\dots,9\}\) .
Nella normale notazione decimale, questo significa:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
e
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
La cancellazione vietata, che viene qui esaminata, sarebbe quindi:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
Stiamo cercando proprio quei casi in cui il valore rimane invariato.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
L'intera struttura può ora essere derivata da semplici trasformazioni. La moltiplicazione incrociata produce...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
Quando moltiplicato, il:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
Se si combinano i termini in modo appropriato, ne consegue che:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
Poiché \(a\) e \(c\) sono entrambi numeri interi positivi \(k\) cifre, \(a10^kc>0\) . Questo perché \(a10^k\) è sempre maggiore di qualsiasi numero di \(k\) cifre \(c\) . Pertanto, possiamo dividere e ottenere la condizione centrale.:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
Questa formula descrive esattamente quando la semplificazione apparente funziona in questa forma particolare. Non è solo necessaria, ma anche sufficiente: se questa equazione è valida, tutte le trasformazioni possono essere invertite e ricondurre al risultato originale.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Il punto cruciale è che l'espressione \(\frac{9ac}{a10^kc}\) deve in definitiva risultare in una singola cifra decimale da \(\{1,\dots,9\}\) . Solo allora si ottiene una tale frazione. Per le frazioni proprie \(a<c\) . Quindi anche \(\frac{a}{c}<1\) è vero e, grazie all'uguaglianza dei valori, anche la frazione originale è propria.
La formula \(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) è molto comoda per la dimostrazione. Tuttavia, una forma leggermente riorganizzata è più pratica per trovare effettivamente tali esempi. Dall'equazione \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) abbiamo già ottenuto \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) . Equivalentemente, abbiamo \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) .
Ora scomponiamo il divisore comune di \(a\) e \(x\) . Sia \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) . Allora esistono numeri \(b\) e \(y\) tali che \(\displaystyle a=gb\) , \(\displaystyle x=gy\) e \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) . Sostituendo questo in \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) otteniamo \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) . Poiché \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) , il fattore \(9b+y\) deve dividere completamente l'espressione \(\displaystyle x10^k\) . Se poniamo \(\displaystyle d=9b+y\) , allora \(\displaystyle d\mid x10^k\) e anche \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) . Viceversa, da tali divisori possiamo ottenere direttamente
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
e
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
Questo elimina la necessità di provare alla cieca \(a\) e \(c\) . Per ogni cifra \(x\in\{1,\dots,9\}\) , ogni divisore \(g\mid x\) e ogni divisore appropriato \(d\mid x10^k\) vengono ottenuti dei candidati. Tutto ciò che resta da fare è verificare se \(a\) e \(c\) sono effettivamente \(k\) cifre e, se si desiderano frazioni proprie, se \(a<c\) . Questo è significativamente più veloce perché \(\displaystyle 10^k=2^k5^k\) ha pochissimi divisori rispetto al numero totale di possibili \(k\) cifre.
Due esempi:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
Qui viene eliminata la cifra \(6\) .
Un esempio significativamente più lungo con \(42\) ciascuna e cancellazione ricorsiva è:
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
Anche qui viene eliminata la stessa cifra: al numeratore l'ultimo \(6\) , al denominatore il primo \(6\) .