分数の基本的な知識：同じ因数を簡約することは許されますが、同じ数字を簡約することは許されません。しかし、この禁じられた簡約がうまくいくように見える分数も存在します。分子の末尾と分母の先頭に同じ数字が現れる分数という、特に単純な分数のグループを詳しく調べてみる価値があります。
分子は数字\(a\)とそれに続く数字\(x\)で構成され、分母は同じ数字\(x\)とそれに続く数字\(c\)で構成されるはずです。:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
分子と分母の桁数の合計を\(n \ge 2\)とする。
すると\(a\)と\(c\)はそれぞれ\(k=n-1\)桁の小数点を持つ。さらに、 \(x \in \{1,\dots,9\}\)とする。
通常の十進表記では、これは:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
と
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
ここで検討されている禁止されている削除は、:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
私たちは、値が変化しないケースをまさに探しています。:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
構造全体は、簡単な変換から導き出すことができる。たすき掛け演算の結果は…:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
展開すると、:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
用語を適切に組み合わせると、次のことが導かれる。:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
\(a\)と\(c\)はそれぞれ\(k\)桁の正の整数なので、 \(a10^kc>0\)となります。これは、 \(a10^k\)が常に任意の\(k\)桁の数\(c\)よりも大きいためです。したがって、割り算をして中心条件を得ることができます。:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
この式は、この特殊な形式において見かけ上の簡略化が機能する条件を正確に記述しています。これは必要条件であるだけでなく、十分条件でもあります。この式が成り立つ場合、すべての変換を逆算して元の結果に戻すことができます。:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
重要な点は、式\(\frac{9ac}{a10^kc}\)が最終的に\(\{1,\dots,9\}\)のいずれかの 1 桁の小数になる必要があるということです。そうして初めて、このような分数が得られます。真分数の場合\(a<c\)がさらに必要となります。すると\(\frac{a}{c}<1\)も成り立ち、値が等しいため、元の分数も真分数になります。
証明には、式\(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\)が非常に便利です。しかし、実際にそのような例を見つけるには、少し形を変えた方が実用的です。式\(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\)から、すでに\(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\)を得ています。同様に、 \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\)となります。
ここで、 \(a\)と\(x\)の共通因数を因数分解します。 \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\)とします。すると\(b\) 、 \(\displaystyle a=gb\) \(\displaystyle x=gy\) \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\)となるような数 \(b\) と\(y\)が存在します。これを\(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\)となります。 \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\)なので、因数\(9b+y\)は式\(\displaystyle x10^k\)を完全に割り切る必要があります。 \(\displaystyle d=9b+y\)と設定すると、 \(\displaystyle d\mid x10^k\)および\(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\)となります。逆に、このような除数から直接得ることができます。
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
と
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
つまり、もう失明する必要はないということです。 \(a\) と \(c\) それぞれの数字について試してみてください。 \(x\in\{1,\dots,9\}\), 各仕切り \(g\mid x\) そしてすべての適切な仕切り \(d\mid x10^k\) 候補者を受け取る。あとは、 \(a\) と \(c\) 本当に \(k\)は -桁であり、実数分数が必要な場合は、 \(a\) と \(c\) 本当に \(k\)は -桁であり、実数分数が必要な場合は、 \(a<c\) 適用します。
2つの例:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
ここでは、数字の\(6\)が削除されます。
それぞれ\(42\)数と再帰的な打ち消しを含む、かなり長い例は次のとおりです。:
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
ここでも同じ数字が削除されています。分子では最後の\(6\) 、分母では最初の\(6\) 。