Pengetahuan dasar tentang pecahan: Menyederhanakan faktor yang sama diperbolehkan. Menyederhanakan angka yang sama tidak diperbolehkan. Namun, ada pecahan di mana penyederhanaan yang dilarang ini tampaknya berhasil. Ada baiknya kita meneliti lebih dekat keluarga pecahan yang sangat sederhana: pecahan di mana angka yang sama muncul di akhir pembilang dan di awal penyebut.
Pembilang sekarang harus terdiri dari angka \(a\) dan angka tambahan \(x\) , penyebutnya terdiri dari angka yang sama \(x\) dan angka tambahan \(c\):
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
Misalkan jumlah total digit pada pembilang dan penyebut adalah \(n \ge 2\) .
Maka \(a\) dan \(c\) masing-masing memiliki \(k=n-1\) angka desimal. Selanjutnya, misalkan \(x \in \{1,\dots,9\}\) .
Dalam notasi desimal biasa, ini berarti:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
dan
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
Penghapusan terlarang yang sedang diperiksa di sini, oleh karena itu, adalah:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
Kami mencari kasus-kasus di mana nilainya tetap tidak berubah.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Seluruh struktur kini dapat diturunkan melalui manipulasi sederhana. Perkalian silang menghasilkan...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
Jika dikalikan, maka:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
Jika Anda menggabungkan istilah-istilah tersebut dengan tepat, maka dapat disimpulkan bahwa...:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
Karena \(a\) dan \(c\) masing-masing adalah bilangan bulat positif dengan \(k\) digit, \(a10^kc>0\) . Hal ini karena \(a10^k\) selalu lebih besar dari bilangan \(k\) digit mana pun, yaitu \(c\) . Oleh karena itu, kita dapat membagi dan memperoleh kondisi pusat.:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
Rumus ini menjelaskan secara tepat kapan penyederhanaan yang tampak berlaku dalam bentuk khusus ini. Ini bukan hanya syarat yang diperlukan tetapi juga syarat yang cukup: Jika persamaan ini berlaku, maka semua transformasi dapat dibalik dan mengarah kembali ke hasil semula.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Poin pentingnya adalah bahwa ekspresi \(\frac{9ac}{a10^kc}\) pada akhirnya harus menghasilkan satu angka desimal dari \(\{1,\dots,9\}\) . Hanya dengan demikian pecahan seperti itu muncul. Untuk pecahan biasa \(a<c\) juga diperlukan. Maka \(\frac{a}{c}<1\) juga benar, dan karena kesamaan nilai, pecahan aslinya juga merupakan pecahan biasa.
Rumus \(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) sangat mudah untuk pembuktian. Namun, bentuk yang sedikit diubah lebih praktis untuk benar-benar menemukan contoh-contoh tersebut. Dari persamaan \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) kita sudah memperoleh \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) . Secara ekuivalen, kita memiliki \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) .
Sekarang kita faktorkan pembagi persekutuan dari \(a\) dan \(x\) . Misalkan \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) . Maka terdapat bilangan \(b\) dan \(y\) sedemikian sehingga \(\displaystyle a=gb\) , \(\displaystyle x=gy\) , dan \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) . Dengan mensubstitusikan ini ke dalam \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) kita peroleh \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) . Karena \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) , maka faktor \(9b+y\) harus membagi habis ekspresi \(\displaystyle x10^k\) . Jika kita menetapkan \(\displaystyle d=9b+y\) , maka \(\displaystyle d\mid x10^k\) dan juga \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) . Sebaliknya, dari pembagi tersebut kita dapat langsung memperoleh
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
dan
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
Ini berarti Anda tidak perlu lagi menjadi buta. \(a\) dan \(c\) Cobalah. Untuk setiap angka. \(x\in\{1,\dots,9\}\), setiap pembatas \(g\mid x\) dan setiap pembatas yang sesuai \(d\mid x10^k\) Anda menerima kandidat. Yang tersisa hanyalah memeriksa apakah \(a\) dan \(c\) Sungguh \(k\)Adalah angka -digit dan, jika Anda menginginkan pecahan sebenarnya, apakah \(a\) dan \(c\) Sungguh \(k\)Adalah angka -digit dan, jika Anda menginginkan pecahan sebenarnya, apakah \(a<c\) berlaku.
Dua contoh:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
Di sini, angka \(6\) dihapus.
Contoh yang jauh lebih panjang dengan \(42\) dan pembatalan rekursif adalah:
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
Di sini juga, angka yang sama dihilangkan: di pembilang angka \(6\) terakhir, di penyebut angka \(6\) pertama.