Grundläggande kunskaper om bråk: Att förenkla lika faktorer är tillåtet. Att förenkla lika siffror är det inte. Ändå finns det bråk där denna förbjudna förenkling verkar fungera. Det är värt att undersöka en särskilt enkel bråkfamilj närmare: bråk där samma siffra förekommer i slutet av täljaren och i början av nämnaren.
Täljaren ska nu bestå av ett tal \(a\) och en tillagd siffra \(x\) , nämnaren av samma siffra \(x\) och ett tillagd tal \(c\):
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
Låt det totala antalet siffror i täljaren och nämnaren vara \(n \ge 2\) .
Då har \(a\) och \(c\) båda \(k=n-1\) decimaler. Låt vidare \(x \in \{1,\dots,9\}\) .
I vanlig decimalnotation betyder detta:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
och
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
Den förbjudna raderingen, som granskas här, skulle därför vara:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
Vi letar efter just de fall där värdet förblir oförändrat.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Hela strukturen kan nu härledas från enkla transformationer. Korsmultiplikation ger...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
När den multipliceras ut,:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
Om man kombinerar termerna på rätt sätt, följer det att:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
Eftersom \(a\) och \(c\) vardera är \(k\) siffriga positiva heltal, \(a10^kc>0\) . Detta beror på att \(a10^k\) alltid är större än något \(k\) siffrigt tal \(c\) . Därför kan vi dividera och få det centrala villkoret.:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
Denna formel beskriver exakt när skenbar förenkling fungerar i denna speciella form. Den är inte bara nödvändig utan också tillräcklig: Om denna ekvation gäller, kan alla transformationer reverseras och leda tillbaka till det ursprungliga resultatet.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Den avgörande punkten är att uttrycket \(\frac{9ac}{a10^kc}\) i slutändan måste resultera i en enda decimalsiffra från \(\{1,\dots,9\}\) . Först då uppstår ett sådant bråk. För äkta bråk krävs dessutom \(a<c\) . Då är \(\frac{a}{c}<1\) också sant, och på grund av att värdena är lika är det ursprungliga bråket också sant.
Formeln \(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) är mycket bekväm för beviset. Emellertid är en något omarrangerad form mer praktisk för att faktiskt hitta sådana exempel. Från ekvationen \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) har vi redan erhållit \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) . På motsvarande sätt har vi \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) .
Nu faktoriserar vi den gemensamma delaren av \(a\) och \(x\) . Låt \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) . Då finns det tal \(b\) och \(y\) sådana att \(\displaystyle a=gb\) , \(\displaystyle x=gy\) och \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) . Genom att ersätta detta med \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) får vi \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) . Eftersom \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) måste faktorn \(9b+y\) dividera uttrycket \(\displaystyle x10^k\) fullständigt. Om vi sätter \(\displaystyle d=9b+y\) , så \(\displaystyle d\mid x10^k\) och även \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) . Omvänt kan vi från sådana delare direkt erhålla
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
och
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
Det betyder att du inte längre behöver bli blind. \(a\) och \(c\) Prova dem. För varje siffra. \(x\in\{1,\dots,9\}\), varje avdelare \(g\mid x\) och varje lämplig avdelare \(d\mid x10^k\) Man tar emot kandidater. Allt som återstår är att kontrollera om \(a\) och \(c\) verkligen \(k\)Är -siffror och, om du vill ha riktiga bråk, om \(a\) och \(c\) verkligen \(k\)Är -siffror och, om du vill ha riktiga bråk, om \(a<c\) gäller.
Två exempel:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
Här raderas siffran \(6\) .
Ett betydligt längre exempel med \(42\) vardera och rekursiv annullering är:
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
Även här tas samma siffra bort: i täljaren den sista \(6\) , i nämnaren den första \(6\) .