ʻIke kumu e pili ana i nā hakina: ʻAe ʻia ka hoʻomaʻalahi ʻana i nā kumu like. ʻAʻole ʻae ʻia ka hoʻomaʻalahi ʻana i nā huahelu like. Eia naʻe, aia kekahi mau hakina kahi e hana ai kēia hoʻomaʻalahi i pāpā ʻia. He mea kūpono ke nānā pono ʻana i kahi ʻohana maʻalahi o nā hakina: nā hakina kahi e ʻike ʻia ai ka huahelu like ma ka hopena o ka helu a ma ka hoʻomaka o ka denominator.
Pono ka helu helu e hoʻokomo i kahi helu \(a\) a me kahi huahelu i hoʻopili ʻia \(x\) , ka denominator o ka huahelu like \(x\) a me kahi helu i hoʻopili ʻia \(c\):
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
E hoʻolilo i ka huina o nā huahelu i loko o ka numerator a me ka denominator i \(n \ge 2\) .
A laila, loaʻa \(a\) a me \(c\) kēlā me kēia he \(k=n-1\) mau wahi decimal. Eia kekahi, e hoʻāʻo iā \(x \in \{1,\dots,9\}\) .
Ma ka hōʻailona decimal maʻamau, ʻo ia hoʻi kēia:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
a
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
No laila, ʻo ka holoi ʻana i pāpā ʻia, ka mea e nānā ʻia nei ma ʻaneʻi:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
Ke ʻimi nei mākou i kēlā mau hihia kahi i loli ʻole ai ke kumukūʻai.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Hiki ke loaʻa ke ʻano holoʻokoʻa mai nā hoʻololi maʻalahi. Loaʻa ka hua o ka hoʻonui ʻana i ke kea...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
Ke hoʻonui ʻia, ʻo ka:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
Inā ʻoe e hoʻohui pono i nā huaʻōlelo, a laila eia kekahi:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
ʻOiai \(a\) a me \(c\) he mau helu piha maikaʻi \(k\) , \(a10^kc>0\) . ʻO kēia no ka mea ʻoi aku ka nui \(a10^k\) ma mua o kekahi helu huahelu \(k\) \(c\) . No laila, hiki iā mākou ke puʻunaue a loaʻa ke kūlana waena.:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
Hōʻike pololei kēia haʻilula i ka wā e hana ai ka hoʻomaʻalahi ʻike ʻia ma kēia ʻano kūikawā. ʻAʻole wale ia he mea pono akā ua lawa nō hoʻi: Inā paʻa kēia hoʻohālikelike, a laila hiki ke hoʻohuli ʻia nā hoʻololi āpau a hoʻihoʻi i ka hopena mua.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
ʻO ke kumu koʻikoʻi, ʻo ka huaʻōlelo \(\frac{9ac}{a10^kc}\) e pono e hopena i hoʻokahi huahelu decimal mai \(\{1,\dots,9\}\) . A laila wale nō e kū mai ai kēlā ʻāpana. No nā ʻāpana kūpono \(a<c\) . A laila he ʻoiaʻiʻo nō hoʻi \(\frac{a}{c}<1\) , a ma muli o ke kaulike o nā waiwai, kūpono nō hoʻi ka ʻāpana mua.
He kūpono loa ke ʻano hana \(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) no ka hōʻoia. Eia nō naʻe, ʻoi aku ka pono o kahi ʻano i hoʻonohonoho hou ʻia no ka loaʻa ʻana o ia mau laʻana. Mai ke kaulike \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) ua loaʻa iā mākou \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) . ʻO ke ʻano like, loaʻa iā mākou \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) .
I kēia manawa, hoʻohui mākou i ka mahele like o \(a\) a me \(x\) . E \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) . A laila aia nā helu \(b\) a me \(y\) i hiki ai iā \(\displaystyle a=gb\) , \(\displaystyle x=gy\) , a me \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) . Ke pani nei i kēia i loko o \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) loaʻa iā mākou \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) . No ka mea, \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) , pono i ka mea hoʻohui \(9b+y\) ke puʻunaue loa i ka hōʻike \(\displaystyle x10^k\) . Inā mākou e hoʻonohonoho iā \(\displaystyle d=9b+y\) , a laila \(\displaystyle d\mid x10^k\) a me \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) . I ka ʻaoʻao ʻē aʻe, mai ia mau mahele hiki iā mākou ke loaʻa pololei
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
a
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
ʻO ke ʻano kēia, ʻaʻole pono ʻoe e hele makapō hou. \(a\) a \(c\) E hoʻāʻo iā lākou. No kēlā me kēia huahelu. \(x\in\{1,\dots,9\}\), kēlā me kēia mea hoʻokaʻawale \(g\mid x\) a me kēlā me kēia mea hoʻokaʻawale kūpono \(d\mid x10^k\) Loaʻa iā ʻoe nā moho. ʻO ka mea wale nō e koe, ʻo ia ke nānā inā \(a\) a \(c\) ʻoiaʻiʻo \(k\)He mau huahelu -a, inā makemake ʻoe i nā hakina maoli, inā paha \(a\) a \(c\) ʻoiaʻiʻo \(k\)He mau huahelu -a, inā makemake ʻoe i nā hakina maoli, inā paha \(a<c\) pili.
ʻElua mau laʻana:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
Maanei, ua holoi ʻia ka huahelu \(6\) .
ʻO kahi laʻana lōʻihi loa me \(42\) a me ka hoʻopau recursive:
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
Maanei hoʻi, ua wehe ʻia ka huahelu like: ma ka helu hope loa \(6\) , ma ka denominator ka mua \(6\) .