Conocimientos básicos sobre fracciones: Se permite simplificar fracciones con factores semejantes. No se permite simplificar fracciones con dígitos semejantes. Sin embargo, existen fracciones en las que esta simplificación prohibida parece funcionar. Vale la pena examinar con más detalle una familia de fracciones particularmente sencilla: aquellas en las que el mismo dígito aparece al final del numerador y al principio del denominador.
El numerador ahora debe constar de un número \(a\) y un dígito añadido \(x\) , el denominador del mismo dígito \(x\) y un número añadido \(c\):
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
Sea \(n \ge 2\) el número total de dígitos en el numerador y el denominador.
Entonces \(a\) y \(c\) tienen cada uno \(k=n-1\) decimales. Además, sea \(x \in \{1,\dots,9\}\) .
En notación decimal normal, esto significa:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
y
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
La eliminación prohibida, que se examina aquí, sería por lo tanto:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
Buscamos precisamente aquellos casos en los que el valor permanece inalterado.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Ahora se puede derivar toda la estructura a partir de transformaciones simples. La multiplicación cruzada produce...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
Cuando se multiplica, el:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
Si combinas los términos adecuadamente, se deduce que:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
Dado que \(a\) y \(c\) son enteros positivos de \(k\) dígitos, \(a10^kc>0\) . Esto se debe a que \(a10^k\) siempre es mayor que cualquier número \(k\) de \(c\) . Por lo tanto, podemos dividir y obtener la condición central.:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
Esta fórmula describe con precisión cuándo funciona la simplificación aparente en esta forma especial. No solo es necesaria, sino también suficiente: si se cumple esta ecuación, todas las transformaciones pueden revertirse y conducir de nuevo al resultado original.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
El punto crucial es que la expresión \(\frac{9ac}{a10^kc}\) debe resultar finalmente en un único dígito decimal de \(\{1,\dots,9\}\) . Solo entonces surge dicha fracción. Para fracciones propias \(a<c\) . Entonces \(\frac{a}{c}<1\) también es cierto, y debido a la igualdad de valores, la fracción original también es propia.
La fórmula \(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) es muy conveniente para la demostración. Sin embargo, una forma ligeramente reordenada es más práctica para encontrar tales ejemplos. De la ecuación \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) ya obtuvimos \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) . Equivalentemente, tenemos \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) .
Ahora factorizamos el divisor común de \(a\) y \(x\) . Sea \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) . Entonces existen números \(b\) e \(y\) tales que \(\displaystyle a=gb\) , \(\displaystyle x=gy\) y \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) . Sustituyendo esto en \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) obtenemos \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) . Dado que \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) , el factor \(9b+y\) debe dividir completamente la expresión \(\displaystyle x10^k\) . Si definimos \(\displaystyle d=9b+y\) , entonces \(\displaystyle d\mid x10^k\) y también \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) . Recíprocamente, a partir de tales divisores podemos obtener directamente
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
y
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
Esto significa que ya no tienes que quedarte ciego. \(a\) y \(c\) Pruébalos. Para cada dígito. \(x\in\{1,\dots,9\}\), cada divisor \(g\mid x\) y cada separador adecuado \(d\mid x10^k\) Recibes candidatos. Todo lo que queda es comprobar si \(a\) y \(c\) en realidad \(k\)Son dígitos y, si quieres fracciones reales, si \(a\) y \(c\) en realidad \(k\)Son dígitos y, si quieres fracciones reales, si \(a<c\) Se aplica.
Dos ejemplos:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
Aquí, el dígito \(6\) se elimina.
Un ejemplo significativamente más largo con \(42\) cada uno y cancelación recursiva es:
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
Aquí también se elimina el mismo dígito: en el numerador el último \(6\) , en el denominador el primer \(6\) .