பின்னங்களைப் பற்றிய அடிப்படை அறிவு: ஒத்த காரணிகளைச் சுருக்குவது அனுமதிக்கப்படுகிறது. ஒத்த இலக்கங்களைச் சுருக்குவது அனுமதிக்கப்படுவதில்லை. இருப்பினும், இந்தத் தடைசெய்யப்பட்ட சுருக்கம் செயல்படுவதாகத் தோன்றும் பின்னங்களும் உள்ளன. ஒரு குறிப்பிட்ட எளிய பின்னக் குடும்பத்தை இன்னும் உன்னிப்பாக ஆராய்வது பயனுள்ளது: அதாவது, தொகுதியின் முடிவிலும் பகுதியின் தொடக்கத்திலும் ஒரே இலக்கம் தோன்றும் பின்னங்கள்.
தொகுதி இப்போது \(a\) என்ற எண்ணையும் அதனுடன் இணைக்கப்பட்ட \(x\) என்ற இலக்கத்தையும் கொண்டிருக்க வேண்டும், பகுதி அதே \(x\) என்ற இலக்கத்தையும் அதனுடன் இணைக்கப்பட்ட \(c\) என்ற எண்ணையும் கொண்டிருக்க வேண்டும்.:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
தொகுதி மற்றும் பகுதியில் உள்ள மொத்த இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை \(n \ge 2\) ஆக இருக்கட்டும்.
அப்படியானால் \(a\) மற்றும் \(c\) ஒவ்வொன்றும் \(k=n-1\) தசம இடங்களைக் கொண்டுள்ளன. மேலும், \(x \in \{1,\dots,9\}\) எனக்கொள்க.
சாதாரண தசமக் குறியீட்டில், இதன் பொருள்:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
மற்றும்
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
எனவே, இங்கு ஆராயப்படும் தடைசெய்யப்பட்ட நீக்கம் என்பது:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
மதிப்பு மாறாமல் இருக்கும் நேர்வுகளையே நாங்கள் துல்லியமாகத் தேடுகிறோம்.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
இப்போது முழு அமைப்பையும் எளிய உருமாற்றங்கள் மூலம் வருவிக்க முடியும். குறுக்குப் பெருக்கல் தருவது...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
பெருக்கப்படும்போது,:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
சொற்களைத் தகுந்த முறையில் இணைத்தால், பின்வருவது பெறப்படுகிறது::
$$9ac=x(a10^k-c)$$
\(a\) மற்றும் \(c\) ஒவ்வொன்றும் \(k\) இலக்க நேர்ம முழு எண்கள் என்பதால், \(a10^kc>0\) ஆகும். ஏனெனில், \(a10^k\) என்பது எந்தவொரு \(k\) இலக்க எண்ணான \(c\) ஐ விடவும் எப்போதும் பெரியதாக இருக்கும். எனவே, நாம் வகுத்து மைய நிபந்தனையைப் பெறலாம்.:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
இந்தச் சூத்திரம், வெளிப்படையான எளிமைப்படுத்தல் இந்தச் சிறப்பு வடிவத்தில் எப்போது செயல்படும் என்பதைத் துல்லியமாக விவரிக்கிறது. இது அவசியமானது மட்டுமல்ல, போதுமானதும்கூட: இந்தச் சமன்பாடு உண்மையாக இருந்தால், அனைத்து உருமாற்றங்களையும் தலைகீழாக்கி, அசல் முடிவிற்கே மீண்டும் கொண்டு செல்ல முடியும்.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
முக்கியமான விஷயம் என்னவென்றால், \(\frac{9ac}{a10^kc}\) என்ற கோவையானது இறுதியில் \(\{1,\dots,9\}\) என்ற ஒற்றைத் தசம இலக்கத்தில் முடிய வேண்டும். அப்போதுதான் அத்தகைய பின்னம் உருவாகும். தகு பின்னங்களுக்கு \(a<c\) என்பதும் தேவைப்படுகிறது. அப்போது \(\frac{a}{c}<1\) என்பதும் உண்மையாகும், மேலும் மதிப்புகளின் சமத்துவத்தின் காரணமாக, அசல் பின்னமும் தகு பின்னமாகும்.
\(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) என்ற சூத்திரம் நிரூபணத்திற்கு மிகவும் வசதியானது. இருப்பினும், அத்தகைய எடுத்துக்காட்டுகளைக் கண்டறிவதற்கு, சற்றே மாற்றியமைக்கப்பட்ட வடிவம் மிகவும் நடைமுறைக்கு உகந்தது. \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) என்ற சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் ஏற்கனவே \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) பெற்றுள்ளோம். இதற்குச் சமமாக, நமக்கு \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) கிடைக்கிறது.
இப்போது நாம் \(a\) மற்றும் \(x\) ஆகியவற்றின் பொது வகுத்தியைக் காரணிப்படுத்துவோம். \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) எனக்கொள்வோம். அப்படியானால், \(b\) , \(y\) \(\displaystyle a=gb\) , மற்றும் \(\displaystyle x=gy\) \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) . இதை \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) நமக்கு \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) கிடைக்கிறது. \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) என்பதால், \(9b+y\) என்ற காரணியானது \(\displaystyle x10^k\) என்ற கோவையை முழுமையாக வகுக்க வேண்டும். நாம் \(\displaystyle d=9b+y\) என அமைத்தால், \(\displaystyle d\mid x10^k\) மற்றும் \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) ஆகும். இதற்கு நேர்மாறாக, அத்தகைய வகுப்பிகளிலிருந்து நாம் நேரடியாகப் பெறலாம்.
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
மற்றும்
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
இதன் பொருள், நீங்கள் இனி பார்வையிழக்க வேண்டியதில்லை. \(a\) மற்றும் \(c\) அவற்றை முயற்சித்துப் பாருங்கள். ஒவ்வொரு இலக்கத்திற்கும். \(x\in\{1,\dots,9\}\), ஒவ்வொரு பிரிப்பானும் \(g\mid x\) மற்றும் ஒவ்வொரு பொருத்தமான பிரிப்பானும் \(d\mid x10^k\) விண்ணப்பதாரர்கள் ஏற்றுக்கொள்ளப்படுவார்கள். அவர்கள் தகுதியானவர்களா என்பதைச் சரிபார்ப்பது மட்டுமே பாக்கி உள்ளது. \(a\) மற்றும் \(c\) உண்மையில் \(k\)அவை -இலக்கங்கள் மற்றும், உங்களுக்கு மெய் பின்னங்கள் வேண்டுமென்றால், \(a\) மற்றும் \(c\) உண்மையில் \(k\)அவை -இலக்கங்கள் மற்றும், உங்களுக்கு மெய் பின்னங்கள் வேண்டுமென்றால், \(a<c\) பொருந்தும்.
இரண்டு உதாரணங்கள்:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
இங்கே, \(6\) என்ற இலக்கம் நீக்கப்பட்டுள்ளது.
ஒவ்வொன்றிலும் \(42\) இடங்கள் மற்றும் மீள் நீக்கத்தைக் கொண்ட கணிசமாக நீண்ட எடுத்துக்காட்டு பின்வருமாறு::
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
இங்கும் அதே இலக்கம் நீக்கப்படுகிறது: தொகுதியில் கடைசி \(6\) , பகுதியில் முதல் \(6\) .