ចំណេះដឹងជាមូលដ្ឋានអំពីប្រភាគ៖ ការធ្វើឱ្យកត្តាដូចគ្នាសាមញ្ញត្រូវបានអនុញ្ញាត។ ការធ្វើឱ្យដូចខ្ទង់មិនមែនទេ។ យ៉ាងណាក៏ដោយ មានប្រភាគមួយចំនួនដែលការធ្វើឱ្យសាមញ្ញដែលហាមឃាត់នេះហាក់ដូចជាដំណើរការ។ វាមានតម្លៃក្នុងការពិនិត្យមើលគ្រួសារប្រភាគសាមញ្ញជាពិសេសឱ្យកាន់តែច្បាស់៖ ប្រភាគដែលខ្ទង់ដូចគ្នាលេចឡើងនៅចុងបញ្ចប់នៃភាគយក និងនៅដើមនៃភាគបែង។
ឥឡូវនេះ ភាគយកគួរតែមានលេខ \(a\) និងខ្ទង់បន្ថែម \(x\) ដែលជាភាគបែងនៃខ្ទង់ដូចគ្នា \(x\) និងលេខបន្ថែម \(c\):
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
សូមឱ្យចំនួនសរុបនៃខ្ទង់នៅក្នុងភាគយក និងភាគបែងស្មើនឹង \(n \ge 2\) ។
បន្ទាប់មក \(a\) និង \(c\) នីមួយៗមានខ្ទង់ទសភាគ \(k=n-1\) ។ លើសពីនេះ សូមឱ្យ \(x \in \{1,\dots,9\}\) ។
នៅក្នុងសញ្ញាណទសភាគធម្មតា នេះមានន័យថា:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
និង
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
ដូច្នេះ ការលុបដែលត្រូវបានហាមឃាត់ ដែលកំពុងត្រូវបានពិនិត្យនៅទីនេះ នឹងត្រូវបាន:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
យើងកំពុងស្វែងរកករណីទាំងនោះដែលតម្លៃនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ។:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
ឥឡូវនេះ រចនាសម្ព័ន្ធទាំងមូលអាចទាញយកបានពីការបំលែងសាមញ្ញ។ ការគុណឆ្លងផ្តល់ទិន្នផល...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
ពេលគុណចេញ ផលគុណ:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
ប្រសិនបើអ្នកផ្សំពាក្យទាំងនេះឲ្យបានត្រឹមត្រូវ វាដូចខាងក្រោម:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
ដោយសារ \(a\) និង \(c\) ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាននៃខ្ទង់ \(k\) នីមួយៗ នោះ \(a10^kc>0\) ។ នេះក៏ព្រោះតែ \(a10^k\) តែងតែធំជាងចំនួនខ្ទង់ \(k\) ណាមួយ \(c\) ។ ដូច្នេះ យើងអាចចែក និងទទួលបានលក្ខខណ្ឌកណ្តាល។:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
រូបមន្តនេះពិពណ៌នាយ៉ាងច្បាស់អំពីពេលដែលការធ្វើឱ្យសាមញ្ញជាក់ស្តែងដំណើរការក្នុងទម្រង់ពិសេសនេះ។ វាមិនត្រឹមតែចាំបាច់ប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងគ្រប់គ្រាន់ផងដែរ៖ ប្រសិនបើសមីការនេះដំណើរការបានល្អ នោះការបំលែងទាំងអស់អាចត្រូវបានបញ្ច្រាស់ ហើយនាំទៅរកលទ្ធផលដើមវិញ។:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
ចំណុចសំខាន់គឺថា កន្សោម \(\frac{9ac}{a10^kc}\) ត្រូវតែបង្កើតជាខ្ទង់ទសភាគតែមួយពី \(\{1,\dots,9\}\) ។ មានតែពេលនោះទេដែលប្រភាគបែបនេះកើតឡើង។ ចំពោះប្រភាគត្រឹមត្រូវ \(a<c\) ត្រូវបានទាមទារបន្ថែម។ បន្ទាប់មក \(\frac{a}{c}<1\) ក៏ពិតដែរ ហើយដោយសារតែសមភាពនៃតម្លៃ ប្រភាគដើមក៏ពិតដែរ។
រូបមន្ត \(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) គឺងាយស្រួលប្រើសម្រាប់ភស្តុតាង។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ទម្រង់ដែលបានរៀបចំឡើងវិញបន្តិចបន្តួចគឺមានប្រយោជន៍ជាងសម្រាប់ការស្វែងរកឧទាហរណ៍បែបនេះ។ ពីសមីការ \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) យើងទទួលបាន \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) រួចហើយ។ ស្មើនឹង យើងមាន \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) ។
ឥឡូវនេះ យើងធ្វើកត្តារួមនៃ \(a\) និង \(x\) ។ សូមឱ្យ \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) ។ បន្ទាប់មកមានលេខ \(b\) និង \(y\) ដែល \(\displaystyle a=gb\) , \(\displaystyle x=gy\) និង \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) ។ ដោយជំនួសចំនួននេះទៅក្នុង \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) យើងទទួលបាន \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) ។ ដោយសារ \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) កត្តា \(9b+y\) ត្រូវតែចែកកន្សោម \(\displaystyle x10^k\) ទាំងស្រុង។ ប្រសិនបើយើងកំណត់ \(\displaystyle d=9b+y\) នោះ \(\displaystyle d\mid x10^k\) និង \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) ។ ផ្ទុយទៅវិញ ពីតួចែកបែបនេះ យើងអាចទទួលបានដោយផ្ទាល់
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
និង
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
នេះមានន័យថា អ្នកលែងត្រូវងងឹតភ្នែកទៀតហើយ។ \(a\) និង \(c\) សាកល្បងពួកវា។ សម្រាប់ខ្ទង់នីមួយៗ។ \(x\in\{1,\dots,9\}\), ឧបករណ៍បែងចែកនីមួយៗ \(g\mid x\) និងឧបករណ៍បែងចែកសមស្របនីមួយៗ \(d\mid x10^k\) មនុស្សម្នាក់ទទួលបានបេក្ខជន។ អ្វីដែលនៅសល់គឺត្រូវពិនិត្យមើលថាតើ \(a\) និង \(c\) ពិតជា \(k\)គឺជា -digits ហើយប្រសិនបើអ្នកចង់បានប្រភាគពិតប្រាកដ ថាតើ \(a\) និង \(c\) ពិតជា \(k\)គឺជា -digits ហើយប្រសិនបើអ្នកចង់បានប្រភាគពិតប្រាកដ ថាតើ \(a<c\) អនុវត្ត។
ឧទាហរណ៍ពីរ:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
នៅទីនេះ ខ្ទង់ \(6\) ត្រូវបានលុបចេញ។
ឧទាហរណ៍វែងជាងនេះទៅទៀត ដែលមាន \(42\) និងការលុបចោលដោយលំដាប់បញ្ច្រាស់:
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
នៅទីនេះដែរ ខ្ទង់ដូចគ្នាត្រូវបានដកចេញ៖ នៅក្នុងភាគយក គឺជា \(6\) ចុងក្រោយ នៅក្នុងភាគបែង គឺជា \(6\) ដំបូង។