Scientia fundamentalis de fractionibus: Simplificatio factorum similium licita est. Simplificatio digitorum similium non licita est. Attamen sunt fractiones ubi haec simplificatio prohibita operari videtur. Operae pretium est familiam fractionum praecipue simplicem diligentius examinare: fractiones ubi eadem digitus in fine numeratoris et in principio denominatoris apparet.
Numerator nunc ex numero \(a\) et cifra adiuncta \(x\) , denominatore eiusdem cifrae \(x\) et numero adiuncto \(c\) constare debet.:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
Sit numerus digitorum in numeratore et denominatore summa \(n \ge 2\) .
Tum \(a\) et \(c\) singuli \(k=n-1\) locos decimales habent. Praeterea, sit \(x \in \{1,\dots,9\}\) .
In notatione decimali communi, hoc significat:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
et
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
Deletio prohibita, quae hic examinatur, igitur esset:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
Casus eos praecise quaerimus ubi valor immutatus manet.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Tota structura nunc ex simplici manipulatione derivari potest. Multiplicatio intersectionis producit...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
Cum multiplicatur,:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
Si terminos recte coniungis, sequitur ut:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
Cum \(a\) et \(c\) sint singuli numeri integri positivi \(k\) digitis, \(a10^kc>0\) . Hoc fit quia \(a10^k\) semper maior est quam quilibet numerus cum \(k\) digitis \(c\) . Ergo, dividere et condicionem centralem obtinere possumus.:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
Haec formula accurate describit quando simplificatio apparens in hac forma speciali operatur. Non solum necessaria est sed etiam sufficiens: Si haec aequatio valet, tum omnes transformationes verti possunt et ad exitum originalem reducere.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Maximi momenti est ut expressio \(\frac{9ac}{a10^kc}\) tandem digitum decimalem singularem ex \(\{1,\dots,9\}\) efficiat. Tantum tunc talis fractio oritur. Pro fractionibus propriis \(a<c\) praeterea requiritur. Tum \(\frac{a}{c}<1\) etiam vera est, et propter aequalitatem valorum, fractio originalis etiam propria est.
Formula \(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) ad demonstrationem percommoda est. Attamen forma leviter translata utilior est ad tales exempla revera invenienda. Ex aequatione \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) iam obtinuimus \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) . Aequivalet, habemus \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) .
Nunc divisorem communem functionum \(a\) et \(x\) dividimus. Sit \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) . Tum numeri \(b\) et \(y\) existunt tales ut \(\displaystyle a=gb\) , \(\displaystyle x=gy\) , et \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) . Hoc substituendo in \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) habemus \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) . Quoniam \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) , factor \(9b+y\) expressionem \(\displaystyle x10^k\) plene dividere debet. Si statuimus \(\displaystyle d=9b+y\) , tum \(\displaystyle d\mid x10^k\) et etiam \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) . Contra, ex talibus divisoribus directe obtinere possumus
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
et
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
Hoc significat te iam non debere caecum ire. \(a\) et \(c\) Experire. Pro singulis digitis. \(x\in\{1,\dots,9\}\), quisque divisor \(g\mid x\) et omnis divisor idoneus \(d\mid x10^k\) Candidatos accipimus. Restat solum inspicere utrum... \(a\) et \(c\) vere \(k\)Sunt digiti - et, si fractiones reales vis, utrum \(a\) et \(c\) vere \(k\)Sunt digiti - et, si fractiones reales vis, utrum \(a<c\) applicatur.
Duo exempla:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
Hic, digitus \(6\) deletur.
Exemplum significanter longius cum \(42\) singulis et cancellatione recursiva est:
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
Hic quoque eadem nota tollitur: in numeratore ultimus \(6\) , in denominatore primus \(6\) .