关于分数的基础知识：允许化简同类因数，但不允许化简同类数字。然而，有些分数似乎可以进行这种被禁止的化简。值得仔细研究一类特别简单的分数：分子末尾和分母开头的数字相同的分数。
分子现在应该由数字\(a\)和附加的数字\(x\)组成，分母由相同的数字\(x\)和附加的数字\(c\)组成。:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
设分子和分母的位数之和为\(n \ge 2\) 。
那么\(a\)和\(c\)各有\(k=n-1\)位小数。此外，令\(x \in \{1,\dots,9\}\) 。
用标准的十进制表示法来说，这意味着:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
和
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
因此，这里正在讨论的禁止删除操作将是：:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
我们正在寻找数值保持不变的那些情况。:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
现在可以通过简单的变换推导出整个结构。交叉相乘得到……:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
乘以之后，:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
如果将这些术语恰当地结合起来，可以得出以下结论：:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
由于\(a\)和\(c\) \(k\) k 位正整数，因此\(a10^kc>0\) 。这是因为\(a10^k\)始终大于任何\(k\)位数\(c\) 。因此，我们可以进行除法运算，从而得到中心条件。:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
这个公式精确地描述了在这种特殊形式下，表面简化何时有效。它不仅是必要条件，也是充分条件：如果这个等式成立，那么所有变换都可以逆转，并最终得到原始结果。:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
关键在于表达式\(\frac{9ac}{a10^kc}\)最终必须得到\(\{1,\dots,9\}\)中的一位小数。只有这样，这样的分数才会出现。对于真分数\(a<c\) 。此时\(\frac{a}{c}<1\)也成立，并且由于数值相等，原分数也是真分数。
公式\(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\)非常便于证明。然而，稍作变形后的形式更便于实际寻找此类例子。从等式\(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\)我们已经得到\(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) 。等价地，我们有\(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) 。
现在我们分解\(a\)和\(x\)的公因数。令\(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) 。那么存在数\(b\)和\(y\) ，使得\(\displaystyle a=gb\) ， \(\displaystyle x=gy\) ，且\(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) 。将此代入\(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\)得到\(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) 。由于\(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) ，因子\(9b+y\)必须整除表达式\(\displaystyle x10^k\) 。如果我们令\(\displaystyle d=9b+y\) ，则\(\displaystyle d\mid x10^k\)且\(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) 。反之，我们可以直接从这些除子中获得
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
和
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
这意味着你不再需要失明了。 \(a\) 和 \(c\) 试试看。每个数字都试试。 \(x\in\{1,\dots,9\}\), 每个分隔线 \(g\mid x\) 以及所有合适的隔板 \(d\mid x10^k\) 收到候选人后，剩下的就是核实他们是否符合要求。 \(a\) 和 \(c\) 真的 \(k\)是位数，如果你想要实分数，那么是否 \(a\) 和 \(c\) 真的 \(k\)是位数，如果你想要实分数，那么是否 \(a<c\) 适用。
两个例子:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
这里，数字\(6\)被删除了。
一个更长的例子，每个数字都保留\(42\)小数，并且使用了递归约分：:
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
这里也去掉了同一个数字：分子去掉了最后一个\(6\) ，分母去掉了第一个\(6\) 。