Կոտորակների մասին տարրական գիտելիքներ. Նմանատիպ բաժանարարների պարզեցումը թույլատրվում է: Նմանատիպ թվանշանների պարզեցումը՝ ոչ: Եվ այնուամենայնիվ, կան կոտորակներ, որոնցում այս արգելված պարզեցումը, կարծես, գործում է: Արժե ավելի մանրամասն ուսումնասիրել կոտորակների հատկապես պարզ ընտանիքը՝ կոտորակներ, որոնցում նույն թվանշանը հայտնվում է համարիչի վերջում և հայտարարի սկզբում:
Համարիչը պետք է բաղկացած լինի \(a\) թվից և կից \(x\) թվանշանից, նույն թվանշանի հայտարարից \(x\) և կից \(c\) թվից։:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
Ենթադրենք համարիչի և հայտարարի թվանշանների ընդհանուր թիվը \(n \ge 2\) ։
Այնուհետև \(a\) ն և \(c\) -ն ունեն \(k=n-1\) տասնորդական նիշ։ Ավելին, ենթադրենք \(x \in \{1,\dots,9\}\) ։
Սովորական տասնորդական նոտագրության մեջ սա նշանակում է:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
և
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
Հետևաբար, այստեղ քննվող արգելված ջնջումը կլինի:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
Մենք փնտրում ենք հենց այն դեպքերը, երբ արժեքը մնում է անփոփոխ։:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Ամբողջ կառուցվածքը այժմ կարող է ստացվել պարզ ձևափոխություններից։ Խաչաձև բազմապատկումը տալիս է...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
Երբ բազմապատկվում է,:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
Եթե տերմինները ճիշտ համադրեք, կստացվի, որ:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
Քանի որ \(a\) և \(c\) ն յուրաքանչյուրը \(k\) թվանշանով դրական ամբողջ թվեր են, \(a10^kc>0\) : Դա պայմանավորված է նրանով, որ \(a10^k\) ն միշտ մեծ է \(c\) -ի ցանկացած \(k\) թվանշանից: Հետևաբար, կարող ենք բաժանել և ստանալ կենտրոնական պայմանը::
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
Այս բանաձևը ճշգրիտ նկարագրում է, թե երբ է թվացյալ պարզեցումը գործում այս հատուկ ձևով։ Այն ոչ միայն անհրաժեշտ է, այլև բավարար. Եթե այս հավասարումը ճիշտ է, ապա բոլոր ձևափոխությունները կարող են շրջվել և վերադառնալ սկզբնական արդյունքին։:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Կարևորագույն կետն այն է, որ \(\frac{9ac}{a10^kc}\) արտահայտությունը պետք է ի վերջո հանգեցնի \(\{1,\dots,9\}\) -ից մեկ տասնորդական թվանշանի։ Միայն այդ դեպքում է առաջանում նման կոտորակ։ Կանոնավոր կոտորակների համար լրացուցիչ անհրաժեշտ է \(a<c\) ։ Այդ դեպքում \(\frac{a}{c}<1\) նույնպես ճիշտ է, և արժեքների հավասարության պատճառով սկզբնական կոտորակը նույնպես կանոնավոր է։
Ապացույցի համար շատ հարմար է \(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) բանաձևը։ Սակայն, նման օրինակներ իրականում գտնելու համար ավելի գործնական է մի փոքր վերադասավորված ձևը։ \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) հավասարումից մենք արդեն ստացել ենք \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) ։ Համարժեքորեն ունենք \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) ։
Հիմա մենք գործոնացնում ենք \(a\) և \(x\) թվերի ընդհանուր բաժանարարը։ \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) ։ Այնուհետև գոյություն ունեն \(b\) և \(y\) թվեր, որոնք \(\displaystyle a=gb\) , \(\displaystyle x=gy\) և \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) ։ Սա փոխարինելով \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) ստանում ենք \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) ։ Քանի որ \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) , գործոնը \(9b+y\) պետք է ամբողջությամբ բաժանի \(\displaystyle x10^k\) արտահայտությանը։ Եթե դնենք \(\displaystyle d=9b+y\) , ապա \(\displaystyle d\mid x10^k\) և նաև \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) : Հակառակը, նման բաժանարարներից կարող ենք ուղղակիորեն ստանալ
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
և
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
Սա նշանակում է, որ այլևս անհրաժեշտ չէ կույր լինել։ \(a\) և \(c\) Փորձեք դրանք։ Յուրաքանչյուր թվանշանի համար։ \(x\in\{1,\dots,9\}\), յուրաքանչյուր բաժանարար \(g\mid x\) և յուրաքանչյուր հարմար բաժանարար \(d\mid x10^k\) Թեկնածուներ են ընդունվում։ Մնում է միայն ստուգել, թե արդյոք \(a\) և \(c\) իսկապես \(k\)-թվանշաններ են, և եթե ուզում եք իրական կոտորակներ, արդյոք \(a\) և \(c\) իսկապես \(k\)-թվանշաններ են, և եթե ուզում եք իրական կոտորակներ, արդյոք \(a<c\) կիրառվում է։
Երկու օրինակ:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
Այստեղ \(6\) թվանշանը ջնջվում է։
Զգալիորեն ավելի երկար օրինակ՝ յուրաքանչյուրը \(42\) նիշով և ռեկուրսիվ չեղարկմամբ, հետևյալն է:
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
Այստեղ նույնպես նույն թվանշանը հանվում է. համարիչում վերջին \(6\) ը, հայտարարում՝ առաջին \(6\) ը։