Kiến thức cơ bản về phân số: Rút gọn các thừa số giống nhau là được phép. Rút gọn các chữ số giống nhau thì không được phép. Tuy nhiên, vẫn có những phân số mà phép rút gọn bị cấm này dường như vẫn có tác dụng. Chúng ta nên xem xét kỹ hơn một nhóm phân số đặc biệt đơn giản: các phân số có cùng một chữ số xuất hiện ở cuối tử số và đầu mẫu số.
Bây giờ tử số sẽ bao gồm một số \(a\) và một chữ số \(x\) được thêm vào, mẫu số sẽ gồm cùng chữ số \(x\) đó và một số \(c\) được thêm vào.:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}}$$
Giả sử tổng số chữ số trong tử số và mẫu số là \(n \ge 2\) .
Khi đó \(a\) và \(c\) mỗi cái có \(k=n-1\) chữ số thập phân. Hơn nữa, giả sử \(x \in \{1,\dots,9\}\) .
Trong ký hiệu thập phân thông thường, điều này có nghĩa là:
$$\overline{a\,x}\,=10a+x$$
và
$$\overline{x\,c}\,=x10^k+c.$$
Do đó, việc xóa bị cấm đang được xem xét ở đây sẽ là:
$$\frac{\overline{a\,x}}{\overline{x\,c}} \longmapsto \frac{a}{c}$$
Chúng tôi đang tìm kiếm chính xác những trường hợp mà giá trị không thay đổi.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Toàn bộ cấu trúc giờ đây có thể được suy ra từ các thao tác đơn giản. Phép nhân chéo cho ra...:
$$c(10a+x)=a(x10^k+c)$$
Khi nhân lên,:
$$10ac+cx=ax10^k+ac$$
Nếu kết hợp các thuật ngữ một cách thích hợp, ta có thể suy ra rằng:
$$9ac=x(a10^k-c)$$
Vì \(a\) và \(c\) đều là các số nguyên dương có \(k\) chữ số, \(a10^kc>0\) . Điều này là do \(a10^k\) luôn lớn hơn bất kỳ số \(k\) \(c\) chữ số nào. Do đó, ta có thể chia và thu được điều kiện trung tâm.:
$$\boxed{x=\frac{9ac}{a10^k-c}}$$
Công thức này mô tả chính xác khi nào sự đơn giản hóa bề ngoài có hiệu quả trong dạng đặc biệt này. Nó không chỉ cần thiết mà còn đủ: Nếu phương trình này đúng, thì tất cả các phép biến đổi đều có thể đảo ngược và dẫn trở lại kết quả ban đầu.:
$$\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}$$
Điểm mấu chốt là biểu thức \(\frac{9ac}{a10^kc}\) cuối cùng phải cho ra một chữ số thập phân duy nhất từ \(\{1,\dots,9\}\) . Chỉ khi đó phân số như vậy mới xuất hiện. Đối với phân số thực sự \(a<c\) . Khi đó \(\frac{a}{c}<1\) cũng đúng, và do sự bằng nhau về giá trị, phân số ban đầu cũng là phân số thực sự.
Công thức \(\displaystyle x=\frac{9ac}{a10^kc}\) rất thuận tiện cho việc chứng minh. Tuy nhiên, một dạng được sắp xếp lại một chút sẽ thực tế hơn để thực sự tìm ra những ví dụ như vậy. Từ phương trình \(\frac{10a+x}{x10^k+c}=\frac{a}{c}\) ta đã thu được \(\displaystyle 9ac=x(a10^kc)\) . Tương đương, ta có \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) .
Bây giờ ta phân tích thừa số chung của \(a\) và \(x\) . Đặt \(\displaystyle g=\gcd(a,x)\) . Khi đó tồn tại các số \(b\) và \(y\) sao cho \(\displaystyle a=gb\) , \(\displaystyle x=gy\) , và \(\displaystyle \gcd(b,y)=1\) . Thay điều này vào \(\displaystyle c(9a+x)=xa10^k\) ta được \(\displaystyle c(9b+y)=x b10^k\) . Vì \(\displaystyle \gcd(9b+y,b)=\gcd(y,b)=1\) , nên thừa số \(9b+y\) phải chia hết cho biểu thức \(\displaystyle x10^k\) . Nếu ta đặt \(\displaystyle d=9b+y\) , thì \(\displaystyle d\mid x10^k\) và cũng \(\displaystyle d\equiv y \pmod 9\) . Ngược lại, từ những ước số như vậy ta có thể trực tiếp thu được
$$\displaystyle a=g\frac{d-y}{9}$$
và
$$\displaystyle c=\frac{x10^k(d-y)}{9d}.$$
Điều này có nghĩa là bạn không còn phải chịu cảnh mù lòa nữa. \(a\) và \(c\) Hãy thử chúng. Với từng chữ số một. \(x\in\{1,\dots,9\}\), mỗi vách ngăn \(g\mid x\) và mọi vách ngăn phù hợp \(d\mid x10^k\) Người ta nhận được các ứng viên. Việc còn lại là kiểm tra xem liệu họ có đủ điều kiện hay không. \(a\) và \(c\) Thực ra \(k\)Là các số có chữ số và, nếu bạn muốn phân số thực, thì liệu \(a\) và \(c\) Thực ra \(k\)Là các số có chữ số và, nếu bạn muốn phân số thực, thì liệu \(a<c\) áp dụng.
Hai ví dụ:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
Ở đây, chữ số \(6\) bị xóa.
Một ví dụ dài hơn đáng kể với \(42\) mỗi chữ số và phép rút gọn đệ quy là:
$$\frac{166666666666666666666666666666666666666666}{666666666666666666666666666666666666666664}=\frac{1}{4}$$
Ở đây cũng vậy, cùng một chữ số bị loại bỏ: ở tử số là \(6\) , ở mẫu số là \(6\) .