Qoftë në shkollë apo në universitet: Një pyetje interesante që \( 0,99999... = 1 \) dhe pastaj përfshin pyetjen nëse ekuacioni i mëposhtëm është i vërtetë: \( 0,99999... = 1 \) . Megjithëse pafundësia \(0,99999... = A\) në pjesën e majtë të ekuacionit, ne i japim asaj një emër: \(0,99999... = A\) . Pas shumëzimit me faktorin \(10\) dhe shndërrimeve të thjeshta algjebrike, kemi një pasqyrë të parë befasuese.
$$ \begin{array}{rcll} 9,99999... & = & 10\cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + 0,99999... & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + A & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 & = & 9 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & 0,99999... & \end{array} $$
Nuk ishte aspak e vështirë. Por çfarë ndodh kur shikoni numrin e mëposhtëm $$ ...99999 $$ , i cili në shikim të parë duket pak i çuditshëm, në të cilin pafundësia shtrihet jo djathtas, por majtas?
Ne kryejmë të njëjtat transformime si më sipër dhe marrim:
$$ \begin{array}{rcll} ...99999 & = & B & \Leftrightarrow \\ ...999990 & = & 10\cdot B & \Leftrightarrow \\ B - 9 & = & 10 \cdot B & \Leftrightarrow \\ - 9 & = & 9 \cdot B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & ...99999 & \end{array} $$
Më në fund ne e konsiderojmë numrin \( ...99999,99999... \)
dhe ju merrni atë që duket mahnitëse me shikim të parë
$$ \begin{array}{rcll} ...99999,99999... & = & C & \Leftrightarrow \\ ...99999,99999... & = & 10\cdot C & \Leftrightarrow \\ C & = & 10 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & 9 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & C & \end{array} $$
Por kjo është gjithashtu mjaft e qëndrueshme, pasi nga njëra anë \(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\) dhe nga ana tjetër $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ zbatohet.
Sugjerim: Tregohet se nëse dikush përcakton \(A, B\) dhe \(C\) dhe u cakton atyre një vlerë të arsyeshme, atëherë vlerat janë \(1, -1\) dhe \(0\) .