چه در مدرسه و چه در دانشگاه: یک س interesting \( 0,99999... = 1 \) جالب که \( 0,99999... = 1 \) مطرح \( 0,99999... = 1 \) و این سوال را نیز شامل می شود که آیا معادله زیر درست است: \( 0,99999... = 1 \) . اگرچه بی نهایت در قسمت چپ معادله \(0,99999... = A\) است ، ما به آن یک نام می دهیم: \(0,99999... = A\) . پس از ضرب در ضریب \(10\) و تبدیلات جبری ساده ، اولین بینش حیرت انگیز پیدا می کنیم.
$$ \begin{array}{rcll} 9,99999... & = & 10\cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + 0,99999... & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + A & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 & = & 9 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & 0,99999... & \end{array} $$
این اصلاً سخت نبود. اما چه اتفاقی می افتد که به شماره زیر $$ ...99999 $$ نگاه کنید ، که در نگاه اول کمی عجیب به نظر می رسد ، که در آن بی نهایت نه به راست بلکه به سمت چپ امتداد دارد؟
ما همان تحولات فوق را انجام داده و دریافت می کنیم:
$$ \begin{array}{rcll} ...99999 & = & B & \Leftrightarrow \\ ...999990 & = & 10\cdot B & \Leftrightarrow \\ B - 9 & = & 10 \cdot B & \Leftrightarrow \\ - 9 & = & 9 \cdot B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & ...99999 & \end{array} $$
در آخر ما عدد \( ...99999,99999... \) در نظر می \( ...99999,99999... \)
و آنچه را که در نگاه اول حیرت انگیز به نظر می رسد ، دریافت کنید
$$ \begin{array}{rcll} ...99999,99999... & = & C & \Leftrightarrow \\ ...99999,99999... & = & 10\cdot C & \Leftrightarrow \\ C & = & 10 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & 9 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & C & \end{array} $$
اما این کاملاً سازگار است ، زیرا از یک طرف \(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\) و از سوی دیگر $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ اعمال می شود.
توجه: نشان داده شده است که اگر یکی \(A, B\) و \(C\) را تعریف کند و مقدار معقولی به آنها اختصاص دهد ، مقادیر \(1, -1\) و \(0\) .