0,99999... = 1?

İster okulda ister üniversitede: Ara sıra \( 0,99999... = 1 \) ve ardından aşağıdaki denklemin doğru olup olmadığı sorusunu içeren ilginç bir soru: \( 0,99999... = 1 \) . Denklemin sol kısmında sonsuzluk \(0,99999... = A\) olsa da, ona bir isim \(0,99999... = A\) : \(0,99999... = A\) . \(10\) faktörü ve basit cebirsel dönüşümlerle çarpıldıktan sonra, şaşırtıcı bir ilk kavrayış elde ederiz.


$$ \begin{array}{rcll} 9,99999... & = & 10\cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + 0,99999... & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + A & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 & = & 9 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & 0,99999... & \end{array} $$

O kadar da zor değildi. Ama ilk bakışta biraz tuhaf görünen, sonsuzluğun sağa değil sola uzandığı aşağıdaki $$ ...99999 $$ baktığınızda ne olur?

Yukarıdaki ile aynı dönüşümleri yapıyoruz ve alıyoruz:

$$ \begin{array}{rcll} ...99999 & = & B & \Leftrightarrow \\ ...999990 & = & 10\cdot B & \Leftrightarrow \\ B - 9 & = & 10 \cdot B & \Leftrightarrow \\ - 9 & = & 9 \cdot B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & ...99999 & \end{array} $$

Son olarak \( ...99999,99999... \) sayısını ele alıyoruz.

ve ilk bakışta harika görünen şeyi elde edersiniz

$$ \begin{array}{rcll} ...99999,99999... & = & C & \Leftrightarrow \\ ...99999,99999... & = & 10\cdot C & \Leftrightarrow \\ C & = & 10 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & 9 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & C & \end{array} $$

Fakat bu aynı zamanda oldukça tutarlıdır çünkü bir yandan \(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\) ve diğer yandan $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ geçerlidir.

Not: \(A, B\) ve \(C\) ve bunlara makul bir değer atanırsa, değerlerin \(1, -1\) ve \(0\) .

Geri