0,99999... = 1?

Okulda veya üniversitede: \( 0,99999... = 1 \) ve şu denklemin doğru olup olmadığı sorusunu içeren ilginç bir soru: \( 0,99999... = 1 \) . Eşitliğin sol tarafındaki sonsuzluk \(0,99999... = A\) olmasına rağmen, ona bir isim \(0,99999... = A\) : \(0,99999... = A\) . Faktör \(10\) ve basit cebirsel dönüşümlerle çarpıldıktan sonra, ilk şaşırtıcı bulguyu elde ederiz.


$$ \begin{array}{rcll} 9,99999... & = & 10\cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + 0,99999... & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + A & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 & = & 9 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & 0,99999... & \end{array} $$

O kadar da zor değildi. Ama sonsuzluğun sağa değil sola doğru uzandığı şu garip sayı $$ ...99999 $$ baktığınızda ne olur?

Yukarıdaki dönüşümleri yapıyoruz ve alıyoruz:

$$ \begin{array}{rcll} ...99999 & = & B & \Leftrightarrow \\ ...999990 & = & 10\cdot B & \Leftrightarrow \\ B - 9 & = & 10 \cdot B & \Leftrightarrow \\ - 9 & = & 9 \cdot B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & ...99999 & \end{array} $$

Sonunda \( ...99999,99999... \) sayısını düşünüyoruz

ve ilk bakışta şaşırtıcı sonucu elde edin

$$ \begin{array}{rcll} ...99999,99999... & = & C & \Leftrightarrow \\ ...99999,99999... & = & 10\cdot C & \Leftrightarrow \\ C & = & 10 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & 9 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & C & \end{array} $$

Ancak bu da oldukça tutarlıdır, çünkü bir yandan \(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\) ve diğer yandan $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ geçerlidir.

Not: \(A, B\) ve \(C\) tanımlayıp onlara makul bir değer atarsanız, değerlerin \(1, -1\) ve \(0\) .

Geri