Будь то в школе или в университете: время от времени \( 0,99999... = 1 \) интересный вопрос, включающий вопрос о том, верно ли следующее уравнение: \( 0,99999... = 1 \) . Хотя бесконечность \(0,99999... = A\) в левой части уравнения, мы даем ей имя: \(0,99999... = A\) . После умножения на множитель \(10\) и простых алгебраических преобразований мы получаем первое поразительное понимание.
$$ \begin{array}{rcll} 9,99999... & = & 10\cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + 0,99999... & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + A & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 & = & 9 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & 0,99999... & \end{array} $$
Это было совсем не сложно. Но что произойдет, если вы посмотрите на следующее число $$ ...99999 $$ , которое на первый взгляд кажется немного странным, в котором бесконечность простирается не вправо, а влево?
Проводим те же преобразования, что и выше, и получаем:
$$ \begin{array}{rcll} ...99999 & = & B & \Leftrightarrow \\ ...999990 & = & 10\cdot B & \Leftrightarrow \\ B - 9 & = & 10 \cdot B & \Leftrightarrow \\ - 9 & = & 9 \cdot B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & ...99999 & \end{array} $$
Наконец, мы рассматриваем число \( ...99999,99999... \)
и вы получите то, что выглядит потрясающе на первый взгляд
$$ \begin{array}{rcll} ...99999,99999... & = & C & \Leftrightarrow \\ ...99999,99999... & = & 10\cdot C & \Leftrightarrow \\ C & = & 10 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & 9 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & C & \end{array} $$
Но это также вполне \(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\) , поскольку, с одной стороны, \(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\) а с другой стороны $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ Применяется $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ .
Подсказка: показано, что если определить \(A, B\) и \(C\) и присвоить им разумное значение, то значения будут \(1, -1\) и \(0\) .