Είτε στο σχολείο είτε στο πανεπιστήμιο: Μια ενδιαφέρουσα ερώτηση που \( 0,99999... = 1 \) και στη συνέχεια περιλαμβάνει το ερώτημα εάν ισχύει η ακόλουθη εξίσωση: \( 0,99999... = 1 \) . Αν και το άπειρο \(0,99999... = A\) στο αριστερό μέρος της εξίσωσης, του δίνουμε ένα όνομα: \(0,99999... = A\) . Μετά τον πολλαπλασιασμό με τον παράγοντα \(10\) και τους απλούς αλγεβρικούς μετασχηματισμούς, λαμβάνουμε την πρώτη εκπληκτική εικόνα.
$$ \begin{array}{rcll} 9,99999... & = & 10\cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + 0,99999... & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + A & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 & = & 9 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & 0,99999... & \end{array} $$
Δεν ήταν καθόλου δύσκολο. Αλλά τι συμβαίνει όταν κοιτάξετε τον παρακάτω αριθμό $$ ...99999 $$ , το οποίο με την πρώτη ματιά φαίνεται λίγο περίεργο, στο οποίο το άπειρο εκτείνεται όχι προς τα δεξιά αλλά προς τα αριστερά;
Πραγματοποιούμε τους ίδιους μετασχηματισμούς όπως παραπάνω και λαμβάνουμε:
$$ \begin{array}{rcll} ...99999 & = & B & \Leftrightarrow \\ ...999990 & = & 10\cdot B & \Leftrightarrow \\ B - 9 & = & 10 \cdot B & \Leftrightarrow \\ - 9 & = & 9 \cdot B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & ...99999 & \end{array} $$
Τέλος, θεωρούμε τον αριθμό \( ...99999,99999... \)
και παίρνετε ό, τι φαίνεται εκπληκτικό με την πρώτη ματιά
$$ \begin{array}{rcll} ...99999,99999... & = & C & \Leftrightarrow \\ ...99999,99999... & = & 10\cdot C & \Leftrightarrow \\ C & = & 10 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & 9 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & C & \end{array} $$
Αλλά αυτό είναι επίσης αρκετά συνεπές, αφού αφενός \(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\) και από την άλλη, $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ ισχύει.
Σημείωση: Εμφανίζεται ότι εάν κάποιος ορίζει \(A, B\) και \(C\) και τους αποδίδει μια εύλογη τιμή, τότε οι τιμές είναι \(1, -1\) και \(0\) .