0,99999... = 1?

चाहे स्कूल में हो या विश्वविद्यालय में: एक दिलचस्प सवाल जो \( 0,99999... = 1 \) और उसमें यह सवाल शामिल है कि क्या निम्नलिखित समीकरण सत्य है: \( 0,99999... = 1 \) । हालांकि अनंत समीकरण के बाएं हिस्से में \(0,99999... = A\) जाता है, हम इसे एक नाम देते हैं: \(0,99999... = A\) । कारक \(10\) और सरल बीजीय परिवर्तनों द्वारा गुणा करने के बाद, हमें पहली बार आश्चर्यजनक जानकारी मिलती है।


$$ \begin{array}{rcll} 9,99999... & = & 10\cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + 0,99999... & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + A & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 & = & 9 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & 0,99999... & \end{array} $$

यह बिल्कुल मुश्किल नहीं था। लेकिन क्या होता है जब आप निम्न संख्या $$ ...99999 $$ , जो पहली नज़र में थोड़ा अजीब लगता है, जिसमें अनन्तता का विस्तार दाईं ओर नहीं बल्कि बाईं ओर होता है?

हम ऊपर के रूप में एक ही परिवर्तन ले और प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{array}{rcll} ...99999 & = & B & \Leftrightarrow \\ ...999990 & = & 10\cdot B & \Leftrightarrow \\ B - 9 & = & 10 \cdot B & \Leftrightarrow \\ - 9 & = & 9 \cdot B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & ...99999 & \end{array} $$

अंत में हम संख्या पर विचार करते हैं \( ...99999,99999... \)

और आपको वह मिलता है जो पहली नजर में अद्भुत लगता है

$$ \begin{array}{rcll} ...99999,99999... & = & C & \Leftrightarrow \\ ...99999,99999... & = & 10\cdot C & \Leftrightarrow \\ C & = & 10 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & 9 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & C & \end{array} $$

लेकिन यह भी काफी संगत है, क्योंकि एक तरफ \(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\) और दूसरी ओर $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ लागू होता है।

नोट: यह दिखाया गया है कि यदि कोई \(A, B\) और \(C\) को परिभाषित करता है और उन्हें एक उचित मूल्य प्रदान करता है, तो मान \(1, -1\) और \(0\)

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