0,99999... = 1?

Uanset om det er i skolen eller på universitetet: Et interessant spørgsmål, der \( 0,99999... = 1 \) og da, inkluderer spørgsmålet om, hvorvidt følgende ligning er sand: \( 0,99999... = 1 \) . Selvom uendelighed \(0,99999... = A\) i den venstre del af ligningen, giver vi det et navn: \(0,99999... = A\) . Efter multiplikation med faktoren \(10\) og enkle algebraiske transformationer får vi en første forbløffende indsigt.


$$ \begin{array}{rcll} 9,99999... & = & 10\cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + 0,99999... & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + A & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 & = & 9 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & 0,99999... & \end{array} $$

Det var slet ikke så svært. Men hvad sker der, hvis man ser på følgende nummer $$ ...99999 $$ , som ved første øjekast virker lidt underligt, hvor uendeligt ikke strækker sig til højre men til venstre?

Vi udfører de samme transformationer som ovenfor og modtager:

$$ \begin{array}{rcll} ...99999 & = & B & \Leftrightarrow \\ ...999990 & = & 10\cdot B & \Leftrightarrow \\ B - 9 & = & 10 \cdot B & \Leftrightarrow \\ - 9 & = & 9 \cdot B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & ...99999 & \end{array} $$

Endelig overvejer vi nummeret \( ...99999,99999... \)

og du får det, der ser fantastisk ud ved første øjekast

$$ \begin{array}{rcll} ...99999,99999... & = & C & \Leftrightarrow \\ ...99999,99999... & = & 10\cdot C & \Leftrightarrow \\ C & = & 10 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & 9 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & C & \end{array} $$

Men dette er også ret konsekvent, da på den ene side \(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\) og på den anden side $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ gælder.

Bemærk: Det vises, at hvis man definerer \(A, B\) og \(C\) og tildeler dem en rimelig værdi, så er værdierne \(1, -1\) og \(0\) .

Tilbage