Dù ở trường hay ở trường đại học: Một câu hỏi thú vị \( 0,99999... = 1 \) bao gồm câu hỏi liệu phương trình sau có đúng không: \( 0,99999... = 1 \) . Mặc dù các số vô cực ở phần bên trái của phương trình, chúng tôi đặt tên cho nó: \(0,99999... = A\) . Sau khi nhân với thừa số \(10\) và các phép biến đổi đại số đơn giản, chúng ta có được cái nhìn sâu sắc đáng kinh ngạc đầu tiên.
$$ \begin{array}{rcll} 9,99999... & = & 10\cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + 0,99999... & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + A & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 & = & 9 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & 0,99999... & \end{array} $$
Điều đó không quá khó khăn. Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu bạn nhìn vào con số sau đây $$ ...99999 $$ , con số này thoạt nhìn có vẻ hơi lạ, trong đó vô cực không kéo dài sang bên phải mà là sang bên trái?
Chúng ta thực hiện các phép biến đổi tương tự như trên và nhận được:
$$ \begin{array}{rcll} ...99999 & = & B & \Leftrightarrow \\ ...999990 & = & 10\cdot B & \Leftrightarrow \\ B - 9 & = & 10 \cdot B & \Leftrightarrow \\ - 9 & = & 9 \cdot B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & ...99999 & \end{array} $$
Cuối cùng, chúng tôi xem xét số \( ...99999,99999... \)
và bạn sẽ có được những gì trông tuyệt vời ngay từ cái nhìn đầu tiên
$$ \begin{array}{rcll} ...99999,99999... & = & C & \Leftrightarrow \\ ...99999,99999... & = & 10\cdot C & \Leftrightarrow \\ C & = & 10 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & 9 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & C & \end{array} $$
Nhưng điều này cũng khá nhất quán, vì một mặt \(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\) và mặt khác, $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ áp dụng.
Lưu ý: Nó cho thấy rằng các giá trị là \(1, -1\) và \(0\) nếu người ta xác định \(A, B\) và \(C\) và gán cho chúng một giá trị hợp lý.