Dù ở trường hay ở trường đại học: Một câu hỏi thú vị \( 0,99999... = 1 \) bao gồm câu hỏi liệu phương trình sau có đúng không: \( 0,99999... = 1 \) . Mặc dù các số vô cực ở phần bên trái của phương trình, chúng tôi đặt tên cho nó: \(0,99999... = A\) . Sau khi nhân với thừa số \(10\) và các phép biến đổi đại số đơn giản, chúng ta có được cái nhìn sâu sắc đáng kinh ngạc đầu tiên.
$$ \begin{array}{rcll} 9,99999... & = & 10\cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + 0,99999... & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + A & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 & = & 9 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & 0,99999... & \end{array} $$
Nó không khó chút nào. Nhưng điều gì sẽ xảy ra khi bạn nhìn vào số $$ ...99999 $$ sau đây, thoạt nhìn có vẻ hơi kỳ lạ, trong đó vô cực không mở rộng sang phải mà là sang trái?
Chúng ta thực hiện các phép biến đổi tương tự như trên và nhận được:
$$ \begin{array}{rcll} ...99999 & = & B & \Leftrightarrow \\ ...999990 & = & 10\cdot B & \Leftrightarrow \\ B - 9 & = & 10 \cdot B & \Leftrightarrow \\ - 9 & = & 9 \cdot B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & ...99999 & \end{array} $$
Cuối cùng, chúng tôi xem xét số \( ...99999,99999... \)
và bạn sẽ có được những gì trông tuyệt vời ngay từ cái nhìn đầu tiên
$$ \begin{array}{rcll} ...99999,99999... & = & C & \Leftrightarrow \\ ...99999,99999... & = & 10\cdot C & \Leftrightarrow \\ C & = & 10 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & 9 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & C & \end{array} $$
Nhưng điều này cũng khá nhất quán, vì một mặt \(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\) và mặt khác, $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ áp dụng.
Lưu ý: Nó được chỉ ra rằng nếu một người định nghĩa \(A, B\) và \(C\) và gán một giá trị hợp lý cho chúng, thì các giá trị là \(1, -1\) và \(0\) .