سواء في المدرسة أو في الجامعة: سؤال مثير للاهتمام يطرح بين الحين والآخر يتضمن السؤال عما إذا كانت المعادلة التالية صحيحة: \( 0,99999... = 1 \) . على الرغم من أن اللانهاية \(0,99999... = A\) في الجزء الأيسر من المعادلة ، فإننا نطلق عليها اسمًا: \(0,99999... = A\) . بعد الضرب في العامل \(10\) والتحويلات الجبرية البسيطة ، نحصل على أول نظرة مدهشة.
$$ \begin{array}{rcll} 9,99999... & = & 10\cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + 0,99999... & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + A & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 & = & 9 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & 0,99999... & \end{array} $$
لم يكن الأمر بهذه الصعوبة على الإطلاق. ولكن ماذا يحدث إذا نظرت إلى الرقم التالي $$ ...99999 $$ ، والذي يبدو للوهلة الأولى غريبًا بعض الشيء ، حيث لا تمتد اللانهاية إلى اليمين بل إلى اليسار؟
نجري نفس التحولات المذكورة أعلاه ونستقبلها:
$$ \begin{array}{rcll} ...99999 & = & B & \Leftrightarrow \\ ...999990 & = & 10\cdot B & \Leftrightarrow \\ B - 9 & = & 10 \cdot B & \Leftrightarrow \\ - 9 & = & 9 \cdot B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & ...99999 & \end{array} $$
أخيرًا نعتبر الرقم \( ...99999,99999... \)
وتحصل على ما يبدو مذهلاً من النظرة الأولى
$$ \begin{array}{rcll} ...99999,99999... & = & C & \Leftrightarrow \\ ...99999,99999... & = & 10\cdot C & \Leftrightarrow \\ C & = & 10 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & 9 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & C & \end{array} $$
لكن هذا أيضًا متسق تمامًا ، لأنه من ناحية \(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\) ومن ناحية أخرى ، $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ ينطبق.
ملاحظة: من الواضح أنه إذا حدد المرء \(A, B\) و \(C\) وخصص قيمة معقولة لهما ، فإن القيم هي \(1, -1\) و \(0\) .