0,99999... = 1?

Apakah di sekolah atau di universitas: Sebuah pertanyaan menarik yang \( 0,99999... = 1 \) termasuk pertanyaan apakah persamaan berikut ini benar: \( 0,99999... = 1 \) . Meskipun angka tak terhingga di bagian kiri persamaan, kami memberinya nama: \(0,99999... = A\) . Setelah perkalian dengan faktor \(10\) dan transformasi aljabar sederhana, kita mendapatkan wawasan menakjubkan pertama.


$$ \begin{array}{rcll} 9,99999... & = & 10\cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + 0,99999... & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + A & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 & = & 9 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & 0,99999... & \end{array} $$

Sama sekali tidak sulit. Tetapi apa yang terjadi jika Anda melihat angka $$ ...99999 $$ , yang sekilas tampak agak aneh, di mana tak terhingga meluas bukan ke kanan melainkan ke kiri?

Kami melakukan transformasi yang sama seperti di atas dan menerima:

$$ \begin{array}{rcll} ...99999 & = & B & \Leftrightarrow \\ ...999990 & = & 10\cdot B & \Leftrightarrow \\ B - 9 & = & 10 \cdot B & \Leftrightarrow \\ - 9 & = & 9 \cdot B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & ...99999 & \end{array} $$

Akhirnya kami mempertimbangkan nomor \( ...99999,99999... \)

dan Anda mendapatkan apa yang tampak luar biasa pada pandangan pertama

$$ \begin{array}{rcll} ...99999,99999... & = & C & \Leftrightarrow \\ ...99999,99999... & = & 10\cdot C & \Leftrightarrow \\ C & = & 10 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & 9 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & C & \end{array} $$

Tetapi ini juga cukup konsisten, karena di satu sisi \(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\) dan di sisi lain, $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ berlaku.

Catatan: Ditunjukkan bahwa jika seseorang mendefinisikan \(A, B\) dan \(C\) dan memberikan nilai yang wajar untuk mereka, maka nilainya adalah \(1, -1\) dan \(0\) .

Kembali